Question

Найдите корни уравнения 4sin2x+cos4x=3

Answer 1

$4sin(2x)+cos(4x)=3\\4sin(2x)+1-2sin^2(2x)=3\\2sin^2(2x)-4sin(2x)+2=0\\sin^2(2x)-2sin(2x)+1=0\\(sin(2x)-1)^2=0\\sin(2x)=1\\x=\frac{\pi}{4}+\pi k$

k∈Z

Answer 2

Для решения уравнения 4sin^2(x) + cos^4(x) = 3, давайте проанализируем его пошагово:

1. Перепишем уравнение, заменив cos^4(x) на (cos^2(x))^2: 4sin^2(x) + (cos^2(x))^2 = 3

2. Заменим sin^2(x) на (1 - cos^2(x)): 4(1 - cos^2(x)) + (cos^2(x))^2 = 3

3. Раскроем скобки: 4 - 4cos^2(x) + cos^4(x) = 3

4. Теперь у нас есть уравнение вида: cos^4(x) - 4cos^2(x) + 1 = 0.

Для решения квадратного уравнения относительно cos^2(x), давайте сделаем замену y = cos^2(x):

y^2 - 4y + 1 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Применяя квадратную формулу, получим:

y = (4 ± √(16 - 4)) / 2 y = (4 ± √12) / 2 y = (4 ± 2√3) / 2 y = 2 ± √3.

Таким образом, у нас есть два значения y: y1 = 2 + √3 и y2 = 2 - √3.

Теперь найдем значения cos^2(x) для каждого из y:

1. y1 = 2 + √3: cos^2(x) = 2 + √3

2. y2 = 2 - √3: cos^2(x) = 2 - √3.

Теперь найдем значения cos(x) для каждого из cos^2(x):

1. cos^2(x) = 2 + √3: cos(x) = ±√(2 + √3)

2. cos^2(x) = 2 - √3: cos(x) = ±√(2 - √3).

Таким образом, уравнение имеет четыре решения для x:

1. x = arccos(√(2 + √3)) + 2πn, где n - целое число.
2. x = arccos(-√(2 + √3)) + 2πn, где n - целое число.
3. x = arccos(√(2 - √3)) + 2πn, где n - целое число.
4. x = arccos(-√(2 - √3)) + 2πn, где n - целое число.