Question

В урне находятся 25 жёлтых, 15 синих, 10 красных шаров. Какова вероятность того, что наудачу взятые три шара окажутся красными?

Answer 1

Вероятностью $P(A)$ события $A$ при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов $m$, в результате которых наступает событие $A$, к общему числу $n$ всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания.

$P(A) = \dfrac{m}{n}$

Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти.

Пусть $A$ - событие, состоящее в том, что из урны, где находится 25 желтых, 15 синих, 10 красных шаров, можно наудачу взять три красных шара.

Из 10 красных шаров нужно выбрать 3 (порядок не имеет значения) - это $C^{3}_{10} = \dfrac{10!}{(10-3)!3!} = \dfrac{10!}{7!\cdot 3!}= \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$  способов.

Выбрать 3 шара из $25 + 15 + 10 = 50$ (порядок не имеет значения) можно $C^{3}_{50} = \dfrac{50!}{(50-3)!3!}=\dfrac{50!}{47! \cdot 3!} =\dfrac{50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47!}{47! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} =19600$ способами.

Следовательно, согласно определению вероятности, вероятность того, что наудачу взятые три шара окажутся красными, будет составлять $P(A) = \dfrac{120}{19600} = \dfrac{3}{490}$.

Ответ: $\dfrac{3}{490}$.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать понятие комбинаторики и правило умножения вероятностей.

Общее количество шаров в урне равно сумме количества жёлтых, синих и красных шаров: Общее количество шаров = 25 жёлтых + 15 синих + 10 красных = 50.

Теперь рассмотрим вероятность извлечения красного шара при каждом извлечении. Первый шар может быть красным с вероятностью 10/50, так как в урне всего 10 красных шаров из общего количества 50. После извлечения первого красного шара, в урне останется 9 красных шаров и 49 шаров в общем.

Вероятность извлечения второго красного шара будет составлять 9/49, так как количество оставшихся красных шаров уменьшилось на 1, а общее количество шаров уменьшилось на 1.

Аналогично, вероятность извлечения третьего красного шара будет составлять 8/48.

Теперь мы можем применить правило умножения вероятностей, поскольку мы хотим найти вероятность всех трех событий, произошедших одновременно (извлечение трех красных шаров).

Вероятность извлечения трех красных шаров = (10/50) * (9/49) * (8/48) = 0.0192 или около 1.92%.

Таким образом, вероятность того, что наудачу взятые три шара окажутся красными, составляет приблизительно 1.92%.