Question

Найти производные сложных функций y=(x^4+1)^x

Answer 1

Решение на фото. Использую логарифмическое дифференцирование.

Стараюсь быть лучшим для вас!

Answer 2

Чтобы найти производную сложной функции $y = (x^4 + 1)^x$, мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции, известное как правило цепной дифференциации или правило Лейбница.

Правило Лейбница утверждает, что если у нас есть функция $y = f(g(x))$, то ее производная может быть найдена следующим образом:

$\frac{dy}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$

В данном случае, функция $f(u) = u^x$, а функция $g(x) = x^4 + 1$. Давайте найдем производные обеих функций и заменим их в формуле Лейбница:

$\frac{df}{du} = x \cdot u^{x-1}$ # Производная функции $f(u) = u^x$ по $u$

$\frac{dg}{dx} = 4x^3$ # Производная функции $g(x) = x^4 + 1$ по $x$

Теперь мы можем заменить эти значения в формуле Лейбница:

$\frac{dy}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx} = (x \cdot u^{x-1}) \cdot (4x^3)$

Однако нам нужно выразить $u$ в терминах $x$. В данном случае, $u = x^4 + 1$. Подставим это обратно:

$\frac{dy}{dx} = x \cdot (x^4 + 1)^{x-1} \cdot (4x^3)$

Итак, производная функции $y = (x^4 + 1)^x$ равна $x \cdot (x^4 + 1)^{x-1} \cdot (4x^3)$.