Question

Четыре числа образуют геометрическую прогрессию. Если к ним прибавить соответственно 3, 12, 13 и 22, то получим четыре числа, образующие арифметическую прогрессию. Определи числа, образующие геометрическую прогрессию. Ответ: знаменатель геометрической прогрессии: q= . Члены геометрической прогрессии: b1= b2= b3= b4=

Answer 1

Пуcть $b_1, b_2, b_3, b_4$ - члены геометрической прогрессии, $a_1, a_2, a_3, a_4$ - члены арифметической прогрессии.

Использовав формулу общего члена прогрессии, перепишем члены геометрической прогрессии в следующем виде: $b_1, b_1q, b_1q^2, b_1q^3$.

По свойству арифметической прогрессии, каждый ее член равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов:

$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}$  ,  $a_3=\frac{a_2+a_4}{2}$.

По условию $a_1=b_1+3,$   $a_2=b_1q+12$,    $a_3=b_1q^2+13$,    $a_4=b_1q^3+22$.

Итого:

$2(b_1q+12)=b_1+3+b_1q^2+13;\\\\2(b_1q^2+13)=b_1q+12+b_1q^3+22$

Решаем систему:

$\left \{ {{2b_1q+24=b_1+b_1q^2+16} \atop {2b_1q^2+26=b_1q+b_1q^3+34}} \right. \\\\\left \{ {{2b_1q+8=b_1+b_1q^2} \atop {2b_1q^2-8=q(b_1q+b_1q^2)}} \right.\\\\\left \{ {{2b_1q+8=b_1+b_1q^2} \atop {2b_1q^2-8=q(2b_1+8)}} \right. \\\\\left \{ {{2b_1q+8=b_1+b_1q^2} \atop {2b_1q^2-8=2b_1q+8q}} \right. \\\\8q=-8\Rightarrow q=-1\\\\2b_1\cdot(-1)+8=b_1+b_1\cdot(-1)^2\\\\-2b_1+8=b_1+b_1\\\\4b_1=8\Rightarrow b_1=2$

Теперь мы можем вычислить члены геометрической прогрессии:

$b_1=2;\\\\b_2=b_1q=2\cdot(-1)=-2\\\\b_3=b_2q=-2\cdot(-1)=2\\\\b_3=b_3q=2\cdot(-1)=-2$

ОТВЕТ: 2; -2; 2; -2.

Answer 2

Давайте обозначим четыре числа, образующие геометрическую прогрессию, как a, ar, ar^2 и ar^3, где r - знаменатель геометрической прогрессии.

По условию задачи, если к этим числам прибавить соответственно 3, 12, 13 и 22, то получим четыре числа, образующие арифметическую прогрессию.

Тогда арифметическая прогрессия будет иметь следующий вид: a+3, ar+12, ar^2+13 и ar^3+22.

Теперь мы знаем, что полученные числа образуют арифметическую прогрессию, значит, разность между соседними членами этой последовательности будет постоянной.

Рассчитаем разности: (ar+12) - (a+3) = ar - a + 9, (ar^2+13) - (ar+12) = ar^2 - ar + 1, (ar^3+22) - (ar^2+13) = ar^3 - ar^2 + 9.

Так как разности образуют арифметическую прогрессию, то они равны. Запишем равенство:

ar - a + 9 = ar^2 - ar + 1 = ar^3 - ar^2 + 9.

Рассмотрим первые два члена этого равенства:

ar - a + 9 = ar^2 - ar + 1.

Выразим a через r из первого равенства:

a = ar - 9.

Подставим это значение во второе равенство:

ar - 9 + 9 = ar^2 - ar + 1, ar = ar^2 - ar + 1, ar^2 - 2ar + 1 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение относительно r:

D = (-2a)^2 - 4ac = 4a^2 - 4 = 4(a^2 - 1).

r = (-(-2a) ± √D) / 2a = (2a ± 2√(a^2 - 1)) / 2a = 1 ± √(a^2 - 1) / a.

Так как r - знаменатель геометрической прогрессии, он не может быть отрицательным. Следовательно, r = 1 + √(a^2 - 1) / a.

Теперь, чтобы найти a, нужно рассмотреть первое уравнение:

ar - a + 9 = 0.

Подставим найденное выражение для r:

a * (1 + √(a^2 - 1) / a) - a + 9 = 0, 1 + √(a^2 - 1) - 1 + 9 = 0, √(a^2 - 1) + 9 = 0, √(a^2 - 1) = -9.

Так как квадратный корень не может быть отрицательным, то уравнение не имеет действительных корней. Однако у нас есть ещё одно условие, что числа образуют геометрическую прогрессию, и оно может помочь нам найти решение.

Для геометрической прогрессии существует ограничение: все члены должны быть ненулевыми. Это значит, что a, ar, ar^2 и ar^3 должны быть ненулевыми.

Попробуем применить это условие к первому члену a:

а ≠ 0.

Так как у нас нет действительных корней для уравнения, a не может быть равным 0.

Таким образом, задача некорректна, и числа, образующие геометрическую прогрессию, не могут быть однозначно определены на основе предоставленной информации.