Question

Помогите срочно решить! 1.Известно, что а > b. Сравните: а) 21а и 21b; б) -3,2а и -3,2b; в) а + 8 и b + 8. 2.Докажите неравенство: а) (х + 7)² > х(х + 14); б) b² + 5 ≥10(b - 2). 3.Известно, что 3,1 << 3,2. Оцените: а) 3; б) -. 4.Зная, что 7,2 < а < 8,4 и 2 < b < 2,5, оцените: а) ab; б) -2a + b; в) 5.Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами а см и b см, если известно, что 1,5<а<1,6 и 3,2 6.Докажите неравенство + ≥ 4 при а>0.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1.

а) 21a>21b; б) -3,2a<-3,2b; в) a+8>b+8

2.

а) (x+7)²>x(x+14)

x²+14x+49>x²+14x

x²+14x+49-x²-14x>0; 49>0⇒x∈(-∞; +∞)

б) b²+5≥10(b-2)

b²+5≥10b-20

b²+5-10b+20≥0

b²-10b+25≥0

Допустим:

b²-10b+25=0; D=100-100=0

b=10/2=5

При b<5: b=0; 0²+5≥10(0-2); 5>-20⇒неравенство выполняется.

При b>5: b=10; 10²+5≥10(2-10); 105>-80⇒неравенство выполняется.

Следовательно, -∞<b<+∞⇒b∈(-∞; +∞).

3.

а) 3·3,1<3√10<3·3,2; 9,3<3√10<9,6

б) -3,1>-√10>-3,2

4.

а) 7,2·2=14,4; 8,4·2,5=42/5 ·5/2=21

Отсюда следует: 14,4<ab<21

б) -2·7,2+2=-14,4+2=-12,2; -2·8,4+2,5=-16,8+2,5=-14,3

Отсюда следует: -12,2>-2a+b>-14,3

в) 7,2/2=3,1; 8,4/2,5=3,36

Отсюда следует: 3,1<a/b<3,36

5.

Периметр прямоугольника: P=2(a+b)

2(1,5+3,2)=2·4,7=9,4; 2(1,6+3,2)=2·4,8=9,6

Отсюда следует: 9,4<2(a+b)<9,6

Площадь прямоугольника: S=ab

1,5·3,2=3/2 ·16/5=48/10=4,8; 1,6·3,2=8/5 ·16/5=128/25=5,12

Отсюда следует: 4,8<ab<5,12

6.

При a>0:

(a+2)/a +(a+2)/2≥4

2a+4+a²+2a≥8a

a²+4a+4-8a≥0

a²-4a+4≥0; D=16-16=0

a=4/2=2

При a>0: a=1; (1+2)/1 +(1+2)/2≥4; 3 +3/2≥4; 4,5>4⇒неравенство выполняется.

При a<0: a=-1; (-1+2)/(-1) +(-1+2)/2≥4; -1 +1/2≥4; -0,5<4⇒неравенство не выполняется.

При a>2: a=10; (10+2)/10 +(10+2)/2≥4; 1,2+6≥4; 7,2>4⇒неравенство выполняется.

Следовательно, при a>0 неравенство выполняется, где a∈(0; +∞).

Answer 2

Давайте рассмотрим каждую задачу по порядку:

1. Известно, что а > b. Сравним выражения: а) 21а и 21b: так как а > b, то 21а > 21b. б) -3,2а и -3,2b: при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется, так что -3,2а < -3,2b. в) а + 8 и b + 8: поскольку а > b, то и а + 8 > b + 8.

2. Докажем неравенства: а) (х + 7)² > х(х + 14): Раскроем квадрат слева: (х + 7)² = х² + 14х + 49. Теперь сравним: х² + 14х + 49 > х² + 14х. Вычитаем х² и 14х с обеих сторон: 49 > 0. Неравенство верно для любого значения х.

   б) b² + 5 ≥ 10(b - 2): Раскроем скобку справа: 10(b - 2) = 10b - 20. Теперь сравним: b² + 5 ≥ 10b - 20. Вычтем 10b и 5 с обеих сторон: b² - 10b + 25 ≥ 0. Преобразуем левую часть: (b - 5)² ≥ 0. Квадрат любого числа неотрицателен, так что неравенство верно для любого значения b.

3. Известно, что 3,1 << 3,2 (3,1 ближе к 3,2, чем 3 к 3,2). а) 3 < 3,1 < 3,2. б) -3,2 < -3,1 << 3,2.

4. Известно, что 7,2 < а < 8,4 и 2 < b < 2,5. а) Для нахождения верхней оценки ab возьмем максимальные значения a и b: 8,4 * 2,5 = 21. б) Для оценки -2a + b возьмем минимальное значение a и максимальное значение b: 7,2 * 2,5 = 18 -2 * 8,4 + 2,5 = -17,8. в) 5 лежит между 2 и 2,5, так что 2 < 5 < 2,5.

5. Оценим периметр и площадь прямоугольника. Из условия известно, что 1,5 < а < 1,6 и 3,2 < b < 3,4. а) Периметр прямоугольника: 2(a + b). Возьмем максимальные значения a и b: 2(1,6 + 3,4) = 10 м (максимальный периметр). б) Площадь прямоугольника: a * b. Возьмем минимальные значения a и b: 1,5 * 3,2 = 4,8 м^2 (минимальная площадь).

6. Докажем неравенство: a^2 + 2 ≥ 4 при a > 0. Исходное неравенство: a^2 + 2 ≥ 4. Вычтем 2 с обеих сторон: a^2 ≥ 2. Так как a > 0, то a^2 будет всегда больше 0. Поэтому неравенство a^2 ≥ 2 всегда выполняется при a > 0.

Надеюсь, это поможет вам решить задачи! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать.