Question

-Эластичный мяч, брошенный с высоты, каждый раз при ударе о землю отскакивает на высоту, составляющую 80% от предыдущей(высоты). Найдите сумму вертикальных расстояний пройденныхмячом вниз и вверх, если он был брошен с высоты 3 метров​

Answer 1

Значения высоты, на которую отскакивает шар, составляют убывающую геометрическую прогрессию с $b_1=3,\;q=0,8$.

Сумма вертикальных расстояний, пройденных мячом вниз - это сумма всех членов убывающей прогрессии

$S_{\downarrow}=\frac{b_1}{1-q}=\frac3{1-0,8}=\frac3{0,2}=15$ метров.

Сумма вертикальных расстояний, пройденных мячом вверх - это сумма всех членов убывающей прогрессии за вычетом первого члена (т.к. на 3 м вниз мяч пролете только вниз)

$S_{\uparrow}=\frac{b_1}{1-q}-b_1=\frac3{1-0,8}-3=\frac3{0,2}-2=15-3=12$ м.

Тогда сумма вертикальных расстояний пройденных  мячом вниз и вверх

$S=S_{\downarrow}+S_{\uparrow}=15+12=27$ метров метров.

P.S. Можно рассмотреть расстояния, пройденные вниз как г.п. с $b_1=3,\;q=0,8$, а расстояния, пройденные вверх как г.п. с $b_1=2,4,\;q=0,8$ и найти сумму каждой г.п. Ответ будет тем же.

Answer 2

Давайте рассмотрим вертикальные расстояния, пройденные мячом вниз и вверх.

Пусть высота, с которой мяч был брошен, равна H = 3 метра.

При каждом ударе о землю, мяч поднимается на 80% от предыдущей высоты. Это означает, что после первого удара мяч поднимется на 80% от H, после второго удара - на 80% от предыдущей высоты и так далее.

Первый удар: 80% от H = 0.8 * 3 = 2.4 метра. Второй удар: 80% от предыдущей высоты (2.4 метра) = 0.8 * 2.4 = 1.92 метра. Третий удар: 80% от предыдущей высоты (1.92 метра) = 0.8 * 1.92 = 1.536 метра.

И так далее, пока высота не станет незначительно малой и мяч не перестанет подниматься на видимые расстояния.

Сумма вертикальных расстояний пройденных мячом вниз и вверх будет равна:

3 + 2.4 + 1.92 + 1.536 + ... (продолжаем считать по формуле 80% от предыдущего значения)

Для упрощения вычислений, используем формулу бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

S = a / (1 - r),

где S - сумма прогрессии, a - первый член прогрессии (высота первого удара), r - знаменатель прогрессии (0.8 в нашем случае).

S = 3 / (1 - 0.8) = 3 / 0.2 = 15.

Таким образом, сумма вертикальных расстояний, пройденных мячом вниз и вверх, составит 15 метров.