Question

Решите уравнение методом замены переменной:(памагити) (x^2-x-1)/(x)-(6x)/(x^2-x-1)=5

Answer 1

$\frac{x^2-x-1}{x}-6\frac{x}{x^2-x-1}=5\\\frac{x^2-x-1}{x}-6\left ( \frac{x^2-x-1}{x} \right )^{-1}=5\\\frac{x^2-x-1}{x}=t\Rightarrow t^2-5t-6=0\Rightarrow t=\left \{ -1;6 \right \}\\\frac{x^2-x-1}{x}=-1\Leftrightarrow x^2-1=0\Rightarrow x=\pm 1\\\frac{x^2-x-1}{x}=6\Leftrightarrow x^2-7x-1=0\Rightarrow x=\frac{7\pm \sqrt{53}}{2}$

Answer 2

Для решения уравнения (x^2 - x - 1)/x - (6x)/(x^2 - x - 1) = 5 методом замены переменной, выполним следующие шаги:

Шаг 1: Введем новую переменную y = x^2 - x - 1. Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной y:

y/x - 6x/y = 5

Шаг 2: Умножим обе части уравнения на xy, чтобы избавиться от знаменателей:

y^2 - 6x^2 = 5xy

Шаг 3: Перепишем уравнение в стандартной форме:

y^2 - 5xy - 6x^2 = 0

Шаг 4: Решим полученное квадратное уравнение относительно y:

y = [5x ± √(25x^2 + 24x^2)]/2

y = [5x ± √(49x^2)]/2

y = [5x ± 7x]/2

Таким образом, получаем два возможных значения y:

1. y = (5x + 7x)/2 = 6x
2. y = (5x - 7x)/2 = -x

Шаг 5: Вспомним, что y = x^2 - x - 1. Подставим каждое значение y обратно:

1. x^2 - x - 1 = 6x
2. x^2 - x - 1 = -x

Теперь решим каждое из этих уравнений:

Первое уравнение: x^2 - x - 1 = 6x

Перенесем все члены в одну сторону:

x^2 - x - 1 - 6x = 0

x^2 - 7x - 1 = 0

Теперь решим квадратное уравнение, например, используя квадратное уравнение или метод дискриминанта:

Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(1)(-1) = 49 + 4 = 53

Так как дискриминант D > 0, у нас есть два различных вещественных корня:

x = (7 ± √53)/2

Второе уравнение: x^2 - x - 1 = -x

x^2 - x - 1 + x = 0

x^2 - 1 = 0

Также решим это уравнение:

x^2 = 1

x = ±√1

Таким образом, получаем два возможных значения для x:

1. x = (7 + √53)/2 (положительный корень)
2. x = (7 - √53)/2 (отрицательный корень)
3. x = 1
4. x = -1

Пожалуйста, убедитесь, что все корни верны, подставив их обратно в исходное уравнение.