Question

А) Реши уравнение 20sin2x+sin2x−10cos2x=4 : −3π4+πk,k∈Z −arctg1614,+πn,n∈Z π4+πk,k∈Z −arctg1614,+2πn,n∈Z −arctg1416,+πn,n∈Z другой ответ −π4+πk,k∈Z arctg1416,+πn,n∈Z −arctg1416,+2πn,n∈Z б) Определи количество корней, принадлежащих отрезку [5π;17π2]

Answer 1

Ответ:

а)

$20 \sin2x+ \sin2x - 10 \cos(2x)$

$20 \sin(2x) + 1 \sin(2x) - 10 \cos(2x)$

$(20 + 1) \times \sin(2x) - 10 \cos(2x)$

$21 \sin(2x) - 10 \cos(2x)$

Объяснение:

Відповідь

$21 \sin(2x) - 10 cos(2x)$

Answer 2

Для решения уравнения 20sin^2(x) + sin^2(x) - 10cos^2(x) = 4, давайте преобразуем его:

Первым шагом заменим cos^2(x) на 1 - sin^2(x):

20sin^2(x) + sin^2(x) - 10(1 - sin^2(x)) = 4

Далее, объединим слагаемые синусов:

21sin^2(x) - 10 = 4

Теперь выразим sin^2(x):

21sin^2(x) = 14

sin^2(x) = 14 / 21

sin^2(x) = 2 / 3

Теперь найдем sin(x):

sin(x) = ±√(2/3)

sin(x) = ±(√2 / √3)

sin(x) = ±(√6 / 3)

Известно, что sin(x) принадлежит интервалу [-1, 1], поэтому можно отбросить отрицательные значения.

Таким образом, sin(x) = √6 / 3.

Для определения значений x на заданном отрезке [5π; 17π/2], давайте рассмотрим возможные значения x:

1. x = arcsin(√6 / 3)

Находим значение:

x ≈ 0.9026 (радианы)

Теперь найдем остальные значения, добавляя период 2π:

x = 0.9026 + 2πn, где n ∈ Z

Теперь проверим, сколько корней уравнения принадлежит отрезку [5π; 17π/2]:

5π ≤ x ≤ 17π/2

5π ≤ 0.9026 + 2πn ≤ 17π/2

Выразим n:

4.0984 ≤ 2πn ≤ 15.708

Разделим на 2π:

2.0723 ≤ n ≤ 7.9279

Так как n - целое число, то n принимает значения от 3 до 7 (включительно). Таким образом, на заданном отрезке [5π; 17π/2] уравнение имеет 5 корней.