Question

А) Выбери решения уравнения 14sin2x+sin2x−4cos2x=4: arctg810,+πn,n∈Z −arctg810,+2πn,n∈Z −arctg108,+πn,n∈Z −arctg108,+2πn,n∈Z −arctg810,+πn,n∈Z −π4+πk,k∈Z другой ответ π4+πk,k∈Z −3π4+πk,k∈Z б) Посчитай количество корней, принадлежащих отрезку [2π;11π2]. Ответ:

Answer 1

Ответ:

$14 \sin {}^{2} (x) + 2 \sin(x) \cos(x) - 4 \cos {}^{2} (x) = 4 \\ 14 \sin {}^{2} (x) + 2 \sin(x) \cos(x) - 4 \cos {}^{2} (x) = 4 \sin {}^{2}(x ) + 4\cos {}^{2} (x) \\ 10 \sin {}^{2}(x ) + 2 \sin(x) \cos(x) - 8 \cos {}^{2} (x) = 0 \\ | \div \cos {}^{2} (x) \\ 10 {tg}^{2} x + 2tgx - 8 = 0 \\ 5 {tg}^{2} x + tgx - 4 = 0 \\ \\ tgx = t \\ \\ 5 {t}^{2} + t - 4 = 0 \\ d = 1 + 80 = 81 \\ t1 = \frac{ - 1 + 9}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \\ t2 = - 1 \\ \\ tgx1 = \frac{4}{5} \\ x1 = arctg \frac{4}{5} + \pi \: n \\ \\ tgx2 = - 1 \\ x2 = - \frac{\pi}{4} + \pi \: n$

n принадлежит Z.

Ответ: подходят варианты первый и шестой

б)

Посчитаем корни

рисунок

Ответ: 7

Answer 2

Давайте начнем с решения уравнения:

14sin^2(x) + sin^2(x) - 4cos^2(x) = 4

Сначала преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества:

14sin^2(x) + sin^2(x) - 4(1 - sin^2(x)) = 4

Упростим:

15sin^2(x) + sin^2(x) - 4 = 4

16sin^2(x) = 8

sin^2(x) = 8/16

sin^2(x) = 1/2

Теперь найдем значения x, удовлетворяющие этому условию. Поскольку sin^2(x) = 1/2, то sin(x) может быть равен ±sqrt(1/2) = ±sqrt(2)/2.

Таким образом, получаем два возможных значения для sin(x): sin(x) = sqrt(2)/2 и sin(x) = -sqrt(2)/2.

1. Для sin(x) = sqrt(2)/2: Это значение достигается, например, в точках x = π/4 + 2πn, где n - целое число.

2. Для sin(x) = -sqrt(2)/2: Это значение достигается, например, в точках x = -3π/4 + 2πn, где n - целое число.

Теперь перейдем ко второй части задачи, чтобы посчитать количество корней, принадлежащих отрезку [2π; 11π/2].

Для этого нужно определить, сколько корней уравнения находится в этом интервале для каждого из значений x, которые мы нашли выше.

1. Для sin(x) = sqrt(2)/2: Корни находятся в точках x = π/4 + 2πn, где n - целое число. Посмотрим, сколько таких точек находится в интервале [2π; 11π/2]: π/4 + 2πn ≥ 2π => n ≥ (2π - π/4)/2π ≈ 0.318 π/4 + 2πn ≤ 11π/2 => n ≤ (11π/2 - π/4)/2π ≈ 5.693 Таким образом, возможные значения n для этого случая в интервале [2π; 11π/2] - это n = 1, 2, 3, 4, 5.

2. Для sin(x) = -sqrt(2)/2: Корни находятся в точках x = -3π/4 + 2πn, где n - целое число. Посмотрим, сколько таких точек находится в интервале [2π; 11π/2]: -3π/4 + 2πn ≥ 2π => n ≥ (2π + 3π/4)/2π ≈ 1.318 -3π/4 + 2πn ≤ 11π/2 => n ≤ (11π/2 + 3π/4)/2π ≈ 6.693 Таким образом, возможные значения n для этого случая в интервале [2π; 11π/2] - это n = 2, 3, 4, 5, 6.

Теперь найдем общее количество корней, принадлежащих отрезку [2π; 11π/2], объединив результаты для обоих случаев:

Для sin(x) = sqrt(2)/2: 5 корней Для sin(x) = -sqrt(2)/2: 5 корней

Общее количество корней на отрезке [2π; 11π/2] составляет 5 + 5 = 10 корней.