Question

Найдите точку минимума функции у=(х-2)^2*е^х-5

Answer 1

. Находим производную функции.2. Находим нули производной (приравниваем производную к нулю и решаем уравнение).3. Далее строим числовую ось, на ней отмечаем найденные точки и определяем знаки производной на полученных интервалах. *Это делается путём подстановки произвольных значений из интервалов в производную.4. Далее делаем вывод.

Answer 2

Чтобы найти точку минимума функции у = (x - 2)^2 * e^x - 5, мы должны сначала найти производную этой функции и приравнять её к нулю. Затем решим уравнение для x.

1. Найдем производную функции у по переменной x:

у'(x) = d/dx [(x - 2)^2 * e^x - 5]

Для этого мы воспользуемся правилами дифференцирования. Первое слагаемое - это произведение двух функций (x - 2)^2 и e^x. Мы можем воспользоваться правилом производной произведения:

(uv)' = u'v + uv'

Где u = (x - 2)^2 и v = e^x. Тогда:

у'(x) = (x - 2)^2 * (e^x)' + e^x * ((x - 2)^2)'

Теперь вычислим производные каждого слагаемого:

(e^x)' = e^x (производная экспоненты e^x)

((x - 2)^2)' = 2(x - 2) (производная квадрата (x - 2)^2)

Теперь заменим эти значения в выражении у'(x):

у'(x) = (x - 2)^2 * e^x + e^x * 2(x - 2)

2. Теперь приравняем производную у'(x) к нулю и решим уравнение:

0 = (x - 2)^2 * e^x + e^x * 2(x - 2)

Теперь выразим x:

0 = e^x * ((x - 2)^2 + 2(x - 2))

0 = e^x * (x^2 - 4x + 4 + 2x - 4)

0 = e^x * (x^2 - 2x)

Теперь мы видим, что e^x не может быть равно нулю (так как экспонента никогда не равна нулю), поэтому у нас остается:

x^2 - 2x = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

x(x - 2) = 0

Отсюда получаем два возможных значения x:

x = 0 и x = 2.

3. Теперь, чтобы найти точки минимума, мы должны проверить значения второй производной у''(x) в этих точках.

у''(x) = d^2/dx^2 [(x - 2)^2 * e^x - 5]

Снова используя правила дифференцирования:

у''(x) = [(x - 2)^2 * e^x - 5]'' = [(x - 2)^2 * e^x]'' = [(x - 2)^2]'' * e^x + 2 * (x - 2) * [(x - 2) * e^x]''

Теперь вычислим вторую производную для каждого слагаемого:

[(x - 2)^2]'' = 2

[(x - 2) * e^x]'' = e^x * 2

Подставим эти значения:

у''(x) = 2 * e^x + 2 * (x - 2) * e^x

Теперь подставим найденные значения x = 0 и x = 2:

У''(0) = 2 * e^0 + 2 * (0 - 2) * e^0 = 2 + 2 * (-2) = 2 - 4 = -2

У''(2) = 2 * e^2 + 2 * (2 - 2) * e^2 = 2 * e^2

Теперь проверим знаки у''(x):

• У''(0) < 0
• У''(2) > 0

Таким образом, у = (x - 2)^2 * e^x - 5 имеет точку минимума при x = 2, и значение этой точки минимума равно:

у(2) = (2 - 2)^2 * e^2 - 5 = 0 * e^2 - 5 = -5

Итак, точка минимума функции находится в (2, -5).