Question

Укажіть проміжки на яких функція f(x)=–x^3+6x^2+7 зростає

Answer 1

Ответ:

f(x)=-x³+6x²+7

f'(x)=-3x²+12x

-3x²+12x=0

-3x(x-4)=0

x1=0

x2=4

x∈[0;4]

Объяснение:

Answer 2

Для знаходження проміжків, на яких функція зростає, потрібно знайти інтервали, де перша похідна функції є додатною. Спочатку знайдемо першу похідну функції:

$f(x) = -x^3 + 6x^2 + 7$

Перша похідна:

$f'(x) = -3x^2 + 12x$

Тепер потрібно знайти значення x, для яких перша похідна дорівнює нулю і визначити знаки першої похідної на інтервалах між цими значеннями.

$-3x^2 + 12x = 0$

$3x(x - 4) = 0$

Отримуємо два критичних значення: x = 0 і x = 4.

Тепер перевіримо знаки першої похідної на інтервалах:

• Для x < 0: Підставляючи в $f'(x)$ від'ємне значення, отримуємо від'ємний результат. Отже, на цьому інтервалі $f(x)$ спадає.
• Для 0 < x < 4: Підставляючи в $f'(x)$ значення між 0 і 4, отримуємо додатний результат. Отже, на цьому інтервалі $f(x)$ зростає.
• Для x > 4: Підставляючи в $f'(x)$ значення більше 4, отримуємо від'ємний результат. Отже, на цьому інтервалі $f(x)$ знову спадає.

Отже, функція $f(x)$ зростає на інтервалі (0, 4).