Question

10. Докажите, что значение выражения 2^(n)+2^(n+1)+2^(n+2) кратно 14 при n - натуральные числа​

Answer 1

$2^{n} + 2^{n+1} + 2^{n+2} = (1 + 2 + 2^{2} ) + 2^{n} = 7 * 2^{n};$

Так как 14=2∙7, то для делимости на 14 число должно делиться и на 2, и на 7. Таким образом, данное выражение делится на 14.

Answer 2

Для доказательства того, что значение выражения 2^(n) + 2^(n+1) + 2^(n+2) кратно 14 при n - натуральные числа, мы можем использовать метод математической индукции.

Шаг 1: Проверка базового случая. При n = 1, выражение принимает следующее значение: 2^(1) + 2^(1+1) + 2^(1+2) = 2 + 4 + 8 = 14.

Шаг 2: Предположение индукции. Предположим, что выражение 2^(k) + 2^(k+1) + 2^(k+2) кратно 14 для некоторого k, где k - натуральное число.

Шаг 3: Доказательство для n = k + 1. Рассмотрим выражение для n = k + 1: 2^(k+1) + 2^(k+1+1) + 2^(k+1+2).

Мы можем выразить каждый член через предыдущее выражение, используя свойство степеней: 2^(k+1) = 2 * 2^k, 2^(k+1+1) = 2^(k+2) = 2 * 2^(k+1), 2^(k+1+2) = 2^(k+3) = 2 * 2^(k+2).

Теперь подставим выражения в исходное выражение и упростим: 2^(k+1) + 2^(k+1+1) + 2^(k+1+2) = 2 * 2^k + 2 * 2^(k+1) + 2 * 2^(k+2) = 2 * (2^k + 2^(k+1) + 2^(k+2)).

Мы знаем, что выражение в скобках (2^k + 2^(k+1) + 2^(k+2)) кратно 14 по предположению индукции. Таким образом, умножение этого выражения на 2 не изменит его кратности 14.

Вывод: Выражение 2^(n) + 2^(n+1) + 2^(n+2) кратно 14 для всех натуральных чисел n. Мы это доказали с использованием метода математической индукции и базового случая n = 1.