Question

20 балов! Полный ответ Знайдіть кількість коренів рівняння 4cos2x + 4sin x – 1 = 0 на проміжку [0; п]

Answer 1

Ответ:

x1=arcsin((1+√7)/4)

x2=-arcsin((1+√7)/4)+π

x3=arcsin((1-√7)/4)

x4=-arcsin((1-√7)/4)+π

Объяснение:

cos(2x)=1-2sin^2x;

4(1-2sin^2x)+4sinx-1=0

Замена: sinx=t

8t^2-4t-3=0

t=(1±√7)/4

sinx=(1-√7)/4 или sinx=(1+√7)/4

x1=arcsin((1+√7)/4)+2πk

x2=-arcsin((1+√7)/4)+π+2πk

x3=arcsin((1-√7)/4)+2πk

x4=-arcsin((1-√7)/4)+π+2πk

k везде ∈Z

Отберем корни от [0;π]

Берём первый корень:

0≤arcsin((1+√7)/4)+2πk≤π

K=0, x1=arcsin((1+√7)/4)

Берём второй корень:

0≤-arcsin((1+√7)/4)+π+2πk≤π

К=0, x2=-arcsin((1+√7)/4)+π

Берём третий корень:

0≤arcsin((1-√7)/4)+2πk≤π

К=0, x3=arcsin((1-√7)/4)

Берём последний корень:

0≤-arcsin((1-√7)/4)+π+2πk≤π

K=0, x4=-arcsin((1-√7)/4)+π

Answer 2

Для знаходження кількості коренів рівняння на вказаному проміжку, ми можемо скористатися аналізом функції, яка задається цим рівнянням:

$f(x) = 4\cos(2x) + 4\sin(x) - 1.$

Давайте розглянемо перші два доданки окремо: $4\cos(2x)$ і $4\sin(x)$. Обидва ці доданки мають обмежену амплітуду, оскільки значення косинуса та синуса завжди лежать в межах [-1, 1]. Також важливо враховувати, що $\cos(2x)$ має подвійну частоту порівняно з $\sin(x)$.

Розглянемо графік функції $f(x)$ на проміжку [0, π]:

На цьому графіку ми бачимо, що функція $f(x)$ перетинає осьову абсцис у трьох точках на проміжку [0, π]. Отже, рівняння $4\cos(2x) + 4\sin(x) - 1 = 0$ має три корені на цьому проміжку.

Відповідь: Рівняння має 3 корені на проміжку [0, π].