Question

Решите уравнение методом введения новой переменной (х^2 + 6х)^2 – 4(х^2 + 6х + 1) – 17 = 0.

Answer 1

$(x^2+6x)^2-4(x^2+6x+1)-17=0\\\\t=x^2+6x\\\\t^2-4(t+1)-17=0\\t^2+3t-7t-21=0\\(t+3)(t-7)=0\\t+3=0\;\;\;t-7=0\\t=-3\;\;\;\;\;\;\;t=7$

$x^2+6x=-3\;\;\;\;\;x^2+6x=7\\D=24\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;D=64\\x=\frac{-6\pm2\sqrt{6}}{2} \;\;\;\;\;\;\;\;x=\frac{-6\pm8}{2} \\x_1=-3+\sqrt{6} \;\;\;\;\;x_3=1\\x_2=-3-\sqrt{6} \;\;\;\;\;x_4=-7$

$Otvet: x_1=-3+\sqrt{6}\;;\;x_2=-3-\sqrt{6} \;;\;x_3=1\;;\;x_4=-7.$

Answer 2

Ответ:

$x_{1} = -3 + \sqrt{6}$           $x_{2} = -3 - \sqrt{6}$           $x_{3} = 1$                $x_{4} = -7$

Объяснение:

(x² + 6x)² - 4(x² + 6x + 1) - 17 = 0

t = (x² + 6x)

t² - 4(t + 1) - 17 = 0

t² - 4t - 4 - 17 = 0

t² - 4t - 21 = 0

t² + 3t - 7t - 4 - 17 = 0 (Теорема Виета)

t² + 3t - 7t - 21 = 0

t(t + 3) - 7(t + 3) = 0

(t + 3)(t - 7) = 0

t₁ = -3; t₂ = 7

x² + 6x + 3= 0                                           x² + 6x - 7 = 0

D = b² - 4ac                                              D = b² - 4ac

D = 6² - 4 * 1 * 3                                        D = 6² - 4 * 1 * (-7)

D = 36 - 12                                                D = 36 + 28

D = 24                                                       D = 64

$x_{1,2} = \frac{-b +- \sqrt{D} }{2a}$                                           $x_{3,4} = \frac{-b +- \sqrt{D} }{2a}$

$x_{1,2} = \frac{-6 +- \sqrt{24} }{2 * 1}$                                          $x_{3,4} = \frac{-6 +- \sqrt{64} }{2 * 1}$

$x_{1,2} = \frac{-6 +- 2\sqrt{6} }{2}$                                          $x_{3,4} = \frac{-6 +- 8 }{2}$

$x_{1} = \frac{2(-3 + \sqrt{6)} }{2}$           $x_{2} = \frac{2(-3 - \sqrt{6)} }{2}$          $x_{3} = \frac{2 }{2}$               $x_{4} = \frac{-14}{2}$

$x_{1} = -3 + \sqrt{6}$           $x_{2} = -3 - \sqrt{6}$           $x_{3} = 1$                $x_{4} = -7$

Answer 3

Давайте решим данное уравнение методом введения новой переменной.

Пусть $y = x^2 + 6x$. Тогда наше уравнение примет вид:

$y^2 - 4(y + 1) - 17 = 0.$

Теперь решим это уравнение для переменной $y$:

$y^2 - 4y - 4 - 17 = 0,$ $y^2 - 4y - 21 = 0.$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Давайте решим его с помощью квадратного трёхчлена или метода дискриминанта.

Дискриминант $D$ для этого уравнения равен:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100.$

Так как дискриминант положителен, у нас есть два вещественных корня:

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 10}{2}.$

Итак, корни уравнения $y^2 - 4y - 21 = 0$ равны:

$y_1 = \frac{4 + 10}{2} = 7,$ $y_2 = \frac{4 - 10}{2} = -3.$

Теперь давайте вернемся к исходной переменной $x$:

Для $y_1 = 7$:

$x^2 + 6x = 7,$ $x^2 + 6x - 7 = 0.$

Для $y_2 = -3$:

$x^2 + 6x = -3,$ $x^2 + 6x + 3 = 0.$

Теперь решим оба квадратных уравнения для $x$, используя квадратное трёхчлен:

Для $x^2 + 6x - 7 = 0$:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2 \cdot 1}.$

Вычислив корни, получим:

$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{52}}{2} = -3 + \sqrt{13},$ $x_2 = \frac{-6 - \sqrt{52}}{2} = -3 - \sqrt{13}.$

Для $x^2 + 6x + 3 = 0$:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}.$