Question

Нужно решить симметрическую систему уравнений х+у=5 х^5+у^5=275, если x^5+y^5=u^5-5u^3v+5uv^2​

Answer 1

Ответ: (2 ;3) , (3;2)

Объяснение:

Честно я не очень понял к чему надо вот это :

x^5+y^5=u^5-5u^3v+5uv^2​ ?

Система решается элементарно  и без этого.

Пусть :

xy=t

Тогда :

x^3+y^3 = (x+y)*(x^2-xy+y^2) = (x+y)* ( (x+y)^2 -3*xy) =

=5*(25-3t)

x^2+y^2 = (x+y)^2 -2*xy = 25-2t

(x^2+y^2)*(x^3+y^3)  =   x^5 +y^5 +x^2*y^3 +y^2*x^3 =

=  x^5+y^5  +x^2*y^2 * (x+y)  = 275 +5*t^2

Таким образом верно равенство :

5*(25-3t)*(25-2t) = 275+5*t^2

(25-3*t)*(25-2t)  = t^2+55

625  -50*t  -75*t +6*t^2 = t^2+55

570 =  125*t -5*t^2

114 = 25*t -t^2

t^2-25*t +114=0

По  теореме Виета :  (t1+t2 = 25  ; t1*t1=114)

t1=6

t2=19

1)   x+y=5

    x*y=6

По  теореме обратной теореме Виета , система имеет очевидное решение :

x1=2

y1=3

x2=3

y2=2

2) x+y=5

   x*y=19

Очевидно , что  для  всех x и y

(x+y)^2 >=4*x*y

25>=76 (неверно)

Вывод :   решений нет

Ответ : (2 ;3) , (3;2)

Answer 2

Давайте решим эту систему уравнений шаг за шагом.

Исходные уравнения:

1. $x + y = 5$
2. $x^5 + y^5 = 275$

Сначала выразим $y$ из первого уравнения и подставим это выражение во второе уравнение:

Из первого уравнения: $y = 5 - x$

Подставляем во второе уравнение:

$x^5 + (5 - x)^5 = 275$

Теперь разложим $(5 - x)^5$ по биному Ньютона:

$(5 - x)^5 = 5^5 - 5 \cdot 5^4 x + 10 \cdot 5^3 x^2 - 10 \cdot 5^2 x^3 + 5 \cdot 5 x^4 - x^5$

Подставляем обратно в уравнение:

$x^5 + 5^5 - 5 \cdot 5^4 x + 10 \cdot 5^3 x^2 - 10 \cdot 5^2 x^3 + 5 \cdot 5 x^4 - x^5 = 275$

Упрощаем:

$5^5 - 5 \cdot 5^4 x + 10 \cdot 5^3 x^2 - 10 \cdot 5^2 x^3 + 5 \cdot 5 x^4 = 275$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$5^5 - 5 \cdot 5^4 x + 10 \cdot 5^3 x^2 - 10 \cdot 5^2 x^3 + 5 \cdot 5 x^4 = 275$

$3125 - 125 \cdot 625 x + 10 \cdot 125 \cdot 25 x^2 - 10 \cdot 25^2 x^3 + 25^2 x^4 = 275$

$3125 - 78125 x + 31250 x^2 - 62500 x^3 + 625 x^4 = 275$

Подвинем все в одну сторону:

$625 x^4 - 62500 x^3 + 31250 x^2 - 78125 x + 3125 - 275 = 0$

$625 x^4 - 62500 x^3 + 31250 x^2 - 78125 x + 2850 = 0$

Теперь давайте решим это уравнение численно. Мы можем воспользоваться численными методами или программой для решения уравнений. Если у вас есть доступ к математическому программному обеспечению (например, MATLAB или Python с библиотекой SymPy), вы можете воспользоваться его возможностями для поиска корней уравнения.

После нахождения корней $x$, вы сможете использовать первое уравнение $x + y = 5$ для нахождения соответствующих значений $y$.

Если у вас есть возможность использовать программирование, я могу предоставить вам пример кода на Python с использованием библиотеки SymPy для решения уравнения численно.