Question

Прошу помочь, нужно подробное решение. Решить интеграл: ∫(7x-15)/(x^3+2x^2+5x)

Answer 1

решение прикреплено в 1м фото

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить этот интеграл. Давайте начнем:

∫(7x - 15) / (x^3 + 2x^2 + 5x) dx

Первым шагом можно попробовать разложить знаменатель на множители, чтобы упростить интеграл:

x^3 + 2x^2 + 5x = x(x^2 + 2x + 5)

Заметим, что дискриминант квадратного трёхчлена в скобке неотрицателен, что означает, что этот трёхчлен всегда положителен. Следовательно, у нас нет действительных корней, и мы не можем разложить его на линейные множители над вещественными числами.

Следовательно, мы не можем воспользоваться методом частных дробей для разложения на простейшие дроби.

Давайте попробуем другой путь. Попробуем произвести замену переменной. Для этого давайте попробуем преобразовать выражение вида (x^3 + ax^2 + bx)'.

Рассмотрим x^3 + ax^2 + bx. Если мы возьмем производную этого выражения по x, то получим:

(x^3 + ax^2 + bx)' = 3x^2 + 2ax + b

Сравнивая это выражение с x^2 + 2x + 5, мы видим, что a = 2 и b = 5. Таким образом, можем выразить x^3 + 2x^2 + 5x следующим образом:

x^3 + 2x^2 + 5x = (x^3 + 2ax^2 + bx) - (ax^2 + bx) = (x^2 + 2x + 5)x - (2x^2 + 5x) = x(x^2 + 2x + 5) - x(2x + 5)

Теперь мы можем переписать исходный интеграл следующим образом:

∫(7x - 15) / (x^3 + 2x^2 + 5x) dx = ∫(7x - 15) / [x(x^2 + 2x + 5) - x(2x + 5)] dx

Сократим общий множитель x в числителе и знаменателе:

∫(7 - 15/x) / (x^2 + 2x + 5 - 2x - 5) dx = ∫(7 - 15/x) / (x^2 + 5 - 2x) dx

Теперь мы можем разбить дробь на две отдельные дроби:

∫(7 / (x^2 + 5 - 2x) - 15/x) dx

Теперь интегрируем каждую из этих дробей отдельно.

Интеграл первой дроби можно вычислить с помощью арктангенса:

∫(7 / (x^2 + 5 - 2x)) dx = ∫(7 / (x^2 - 2x + 5)) dx = (7/4) ∫(1 / ((x - 1)^2 + 4)) dx = (7/4) * (1/2) * arctan((x - 1)/2) + C1 = (7/8) * arctan((x - 1)/2) + C1

Интеграл второй дроби можно вычислить как интеграл -15x^(-1):

∫(-15/x) dx = -15 * ln|x| + C2

Собирая все вместе:

∫(7x - 15) / (x^3 + 2x^2 + 5x) dx = (7/8) * arctan((x - 1)/2) - 15 * ln|x| + C

где C = C1 + C2 - это константа интегрирования.