Question

Докажите, что многочлен х³+х²-7х-10 делится нацело на многочлен х²-х-5

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

Есть 2 способа это сделать:

1. Разложить исходный многочлен на множители и показать, что один из них x²-x-5.
2. Поделить один многочлен на другой уголком и показать, что остаток от деления равен 0.

Способ 1:

$x^3+x^2-7x-10=x(x^2-x-5)+2(x^2-x-5)=(x^2-x-5)(x+2)$

Теперь поделим один многочлен на другой:

$\dfrac{x^3+x^2-7x-10}{x^2-x-5}=\dfrac{(x^2-x-5)(x+2)}{x^2-x-5}=x+2$

Мы доказали, что исходный многочлен делится нацело на данный.

Способ 2:

(см. прикрепленный файл)

Answer 2

Чтобы доказать, что многочлен $x^3 + x^2 - 7x - 10$ делится нацело на многочлен $x^2 - x - 5$, нужно показать, что остаток от деления первого многочлена на второй равен нулю.

Мы можем воспользоваться методом деления многочленов с остатком. Давайте разделим многочлен $x^3 + x^2 - 7x - 10$ на $x^2 - x - 5$ и проверим, что остаток будет равен нулю.

Процесс деления будет выглядеть так:

scssCopy code
            x
__________________________
x² - x - 5 | x³ + x² - 7x - 10
            - (x³ - x² - 5x)
              ______________
                       2x² - 2x - 10
                  - (2x² - 2x - 10)
                    ______________
                                0 (остаток)

Таким образом, получаем, что многочлен $x^3 + x^2 - 7x - 10$ делится нацело на многочлен $x^2 - x - 5$, так как остаток от деления равен нулю.