Question

Решите комплексное уравнение : z⁴=-√3

Answer 1

$z^4=-\sqrt{3}$

$z=\sqrt[4]{-\sqrt{3} }$

Извлечем корень 4-ой степени из числа $-\sqrt{3}$. Найдем его модуль и аргумент:

$\rho=|z|=\sqrt{3}$

$\varphi=\arg z=\pi$

Для нахождения корней воспользуемся формулой:

$\sqrt[4]{z} =\sqrt[4]{\rho} \left(\cos\dfrac{\varphi+2\pi k}{4} +i\sin\dfrac{\varphi+2\pi k}{4}\right),\ k\in\{0;\ 1;\ 2;\ 3\}$

Вычисляем корни:

$z_0 =\sqrt[4]{\sqrt{3} } \left(\cos\dfrac{\pi+2\pi \cdot0}{4} +i\sin\dfrac{\pi+2\pi\cdot0}{4}\right)=$

$=\sqrt[8]{3} \left(\cos\dfrac{\pi}{4} +i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt[8]{3} \left(\dfrac{\sqrt{2} }{2} +\dfrac{\sqrt{2} }{2}i\right)=\dfrac{\sqrt[8]{48} }{2} +\dfrac{\sqrt[8]{48} }{2}i$

$z_1 =\sqrt[4]{\sqrt{3} } \left(\cos\dfrac{\pi+2\pi \cdot1}{4} +i\sin\dfrac{\pi+2\pi\cdot1}{4}\right)=$

$=\sqrt[8]{3} \left(\cos\dfrac{3\pi}{4} +i\sin\dfrac{3\pi}{4}\right)=\sqrt[8]{3} \left(-\dfrac{\sqrt{2} }{2} +\dfrac{\sqrt{2} }{2}i\right)=-\dfrac{\sqrt[8]{48} }{2} +\dfrac{\sqrt[8]{48} }{2}i$

$z_2 =\sqrt[4]{\sqrt{3} } \left(\cos\dfrac{\pi+2\pi \cdot2}{4} +i\sin\dfrac{\pi+2\pi\cdot2}{4}\right)=$

$=\sqrt[8]{3} \left(\cos\dfrac{5\pi}{4} +i\sin\dfrac{5\pi}{4}\right)=\sqrt[8]{3} \left(-\dfrac{\sqrt{2} }{2}-\dfrac{\sqrt{2} }{2}i\right)=-\dfrac{\sqrt[8]{48} }{2} -\dfrac{\sqrt[8]{48} }{2}i$

$z_3 =\sqrt[4]{\sqrt{3} } \left(\cos\dfrac{\pi+2\pi \cdot3}{4} +i\sin\dfrac{\pi+2\pi\cdot3}{4}\right)=$

$=\sqrt[8]{3} \left(\cos\dfrac{7\pi}{4} +i\sin\dfrac{7\pi}{4}\right)=\sqrt[8]{3} \left(\dfrac{\sqrt{2} }{2}-\dfrac{\sqrt{2} }{2}i\right)=\dfrac{\sqrt[8]{48} }{2} -\dfrac{\sqrt[8]{48} }{2}i$

Ответ: $><strong></strong></p> </div> <div class=$ 0 0

Answer 2

Давайте решим это уравнение.

Заметим, что √3 можно записать в виде комплексного числа: √3 = 3^(1/2) * e^(iπ/6). Таким образом, уравнение можно записать как:

z⁴ = -3^(1/2) * e^(iπ/6).

Теперь найдем четвертые корни из обеих сторон уравнения. Для этого мы возведем обе стороны в степень 1/4:

z = (-3^(1/2) * e^(iπ/6))^(1/4).

Чтобы найти корни, нам нужно найти корень четвертой степени из -3^(1/2) и разделить аргумент на 4 (так как мы берем корень четвертой степени). Аргумент -3^(1/2) равен π/6, поэтому аргумент корня будет (π/6)/4 = π/24.

Корень четвертой степени из -3^(1/2) можно найти следующим образом:

(-3^(1/2))^(1/4) = (3^(1/2) * e^(iπ))^(1/4) = 3^(1/8) * e^(iπ/8).

Таким образом, мы получили 4 корня:

z₁ = 3^(1/8) * e^(iπ/24), z₂ = 3^(1/8) * e^(iπ/24 + iπ/2) = 3^(1/8) * e^(i5π/24), z₃ = 3^(1/8) * e^(iπ/24 + iπ) = 3^(1/8) * e^(i7π/24), z₄ = 3^(1/8) * e^(iπ/24 + i3π/2) = 3^(1/8) * e^(i13π/24).

И это будут все корни данного уравнения.