Question

Найти общее решение дифференциальных уравнений: 1) y-2y+10y=0 2) y-2y=0 3)y+y-2y=0

Answer 1

Ответ:дайте пару минут добавить ответ

Объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по очереди и найдем их общие решения.

1. Уравнение: $y'' - 2y' + 10y = 0$

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение для него будет: $r^2 - 2r + 10 = 0$

Решим квадратное уравнение для нахождения корней $r$: $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ где $a = 1$, $b = -2$, $c = 10$.

$r = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$ $r = \frac{2 \pm \sqrt{-36}}{2}$ $r = 1 \pm 3i$

Так как у нас есть комплексные корни, общее решение имеет вид: $y(t) = e^{1t}(A\cos(3t) + B\sin(3t))$ где $A$ и $B$ - произвольные постоянные.

2. Уравнение: $y' - 2y = 0$

Это тоже линейное однородное дифференциальное уравнение, но первого порядка. Характеристическое уравнение здесь будет: $r - 2 = 0$ $r = 2$

Общее решение: $y(t) = Ae^{2t}$ где $A$ - произвольная постоянная.

3. Уравнение: $y' + y - 2y = 0$

Это также линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Выражение можно упростить: $y' - y = 0$

Характеристическое уравнение: $r - 1 = 0$ $r = 1$

Общее решение: $y(t) = Ae^t$ где $A$ - произвольная постоянная.

Итак, общие решения для данных уравнений:

1. $y(t) = e^{t}(A\cos(3t) + B\sin(3t))$
2. $y(t) = Ae^{2t}$
3. $y(t) = Ae^t$