Question

Найдите первообразную функции f(x) = x2+ 6x - 1 график которой проходит через точку (-1;-2)

Answer 1

Ответ:

Объяснение: F(x)=x³/3+3x²-x+C,

по условию F(-1)=-2,   (-1)³/3+3(-1)²-(-1)+C=-2, -1/3+3+1+C=-2, C=-2-4+1/3;

C= -5 2/3.

F(x)=x³/3+3x²-x- 5 2/3.

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции $f(x) = x^2 + 6x - 1$, проходящую через точку $(-1, -2)$, мы сначала найдем первообразную $F(x)$ функции $f(x)$, а затем используем условие, что $F(-1) = -2$ (так как график проходит через точку $(-1, -2)$).

Для нахождения первообразной функции $F(x)$ функции $f(x)$, мы будем интегрировать каждый терм отдельно:

$f(x) = x^2 + 6x - 1$ $F(x) = \int (x^2 + 6x - 1) \, dx$

Интегрируя по очереди:

$\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1$ $\int 6x \, dx = 3x^2 + C_2$ $\int -1 \, dx = -x + C_3$

Где $C_1$, $C_2$ и $C_3$ - произвольные постоянные интегрирования.

Теперь суммируем все части:

$F(x) = \frac{x^3}{3} + 3x^2 - x + C$

Где $C = C_1 + C_2 + C_3$ - итоговая постоянная интегрирования.

Теперь, используя условие $F(-1) = -2$, мы можем найти $C$:

$\frac{(-1)^3}{3} + 3(-1)^2 - (-1) + C = -2$ $-\frac{1}{3} + 3 + 1 + C = -2$ $C = -2 - \frac{8}{3}$ $C = -\frac{14}{3}$

Итак, первообразная функции $f(x)$, проходящая через точку $(-1, -2)$, равна:

$F(x) = \frac{x^3}{3} + 3x^2 - x - \frac{14}{3}$

Проверим, что производная этой функции действительно равна $f(x)$:

$F'(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{x^3}{3} + 3x^2 - x - \frac{14}{3}\right)$ $F'(x) = x^2 + 6x - 1$

Все верно, производная $F(x)$ действительно равна $f(x)$, и данная функция проходит через точку $(-1, -2)$.