Question

Интеграл от (5x-4/x²-16) dx равно ?

Answer 1

Ответ:

$\int \dfrac{5x-4}{x^2-16}\, dx=\dfrac{5}{2}\int \dfrac{2x\, dx}{x^2-16}-4\int \dfrac{dx}{x^2-16}=\\\\\\=\dfrac{5}{2}\cdot \ln|x^2-16|-4\cdot \dfrac{1}{8}\cdot ln\Big|\dfrac{x-4}{x+4}\Big|+C$

Answer 2

Для вычисления данного интеграла можно воспользоваться методом частичных дробей. Сначала разложим дробь на простые дроби:

(5x - 4) / (x^2 - 16) = A / (x - 4) + B / (x + 4),

где A и B - неизвестные коэффициенты, которые нужно найти. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель (x - 4)(x + 4):

5x - 4 = A(x + 4) + B(x - 4).

Раскроем скобки:

5x - 4 = Ax + 4A + Bx - 4B.

Сгруппируем переменные:

(5 + B)x + (4A - 4B) = 5x - 4.

Так как левая и правая части равны для любого x, то коэффициенты при одинаковых степенях x должны быть равными:

5 + B = 5, (1) 4A - 4B = -4. (2)

Из уравнения (1) получаем B = 0, а из уравнения (2) получаем A = -1. Теперь мы можем разложить исходную дробь на простые дроби:

(5x - 4) / (x^2 - 16) = -1 / (x - 4) + 0 / (x + 4).

Теперь можем проинтегрировать каждую дробь по отдельности:

∫[(5x - 4) / (x^2 - 16)] dx = ∫[-1 / (x - 4)] dx + ∫[0 / (x + 4)] dx.

Интеграл ∫[0 / (x + 4)] dx равен 0, поэтому остается только первый интеграл:

∫[-1 / (x - 4)] dx = -ln|x - 4| + C,

где C - произвольная постоянная.

Итак, окончательный ответ:

∫[(5x - 4) / (x^2 - 16)] dx = -ln|x - 4| + C.