Question

Решите систему уравнения (желательно с полным решением) x+y = xy4xy = x^2+y^2

Answer 1

Ответ:

$(0; 0), (3-\sqrt{3}; 3+\sqrt{3}), (3+\sqrt{3}; 3-\sqrt{3})$

Объяснение:

Пусть $x+y=a, xy=b$. Тогда $x^2+y^2=x^2+2xy+y^2-2xy=(x+y)^2-2xy=a^2-2b$

$\begin{cases} a=b,\\ 4b=a^2-2b \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=b,\\ a^2-6b=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=b,\\ a^2-6a=0 \end{cases}\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow \begin{cases} a=b,\\ \left [ {{a=0} \atop {a=6}} \right. \end{cases} \Rightarrow \displaystyle \left [ {{\left \{ {{a=0,} \atop {b=0}} \right. } \atop {\left \{ {{a=6} \atop {b=6}} \right. }} \right.$

Случай 1: a = b = 0:

$\begin{cases} x+y=0,\\ xy=0 \end{cases} \Rightarrow x=y=0$

Случай 2: a = b = 6:

$\begin{cases} x+y=6,\\ xy=6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y=6-x,\\ x(6-x)=6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y=6-x,\\ x^2-6x+6=0 \end{cases}\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow \begin{cases} y=3\mp\sqrt{3},\\ x=3\pm\sqrt{3} \end{cases}$

Answer 2

Для решения данной системы уравнений, мы можем использовать метод подстановки. Давайте начнем.

Уравнение 1: x + y = xy Уравнение 2: 4xy = x^2 + y^2

Из уравнения 1 мы можем выразить одну переменную через другую: x = xy - y (1)

Подставим это выражение для x в уравнение 2: 4(xy)(y - 1) = (xy - y)^2 + y^2

Раскроем скобки: 4xy^2 - 4xy = x^2y^2 - 2xy^2 + y^2 + y^2

Сократим подобные члены: 4xy^2 - 4xy = x^2y^2 - 2xy^2 + 2y^2

Теперь приведем подобные члены в уравнении вместе: 4xy^2 - 4xy = x^2y^2 - 2xy^2 + 2y^2

4xy^2 - 4xy + 2xy^2 - 2y^2 = x^2y^2

Упростим уравнение: 6xy^2 - 4xy - 2y^2 = x^2y^2

После этого уравнения у нас возникает проблема, так как оно является квадратным уравнением относительно xy. Для его решения нам потребуется еще одно уравнение с переменными x и y.

Пожалуйста, проверьте, необходимо ли в условии системы предоставить дополнительное уравнение. Если вы укажете это уравнение, я смогу помочь вам с полным решением.