Question

Знайти екстремуми функції: 1. у= х^3-27х 2. у= х^4-4x^2 3. y= (x+1)^2*(x+5)^2 4. y= √1-x^2 (це все під коренем)

Answer 1

1) у= х³-27х;  y'=3x²-27; 3x²-27=0; x²-9=0; x₁=3; x₁=-3.-критические точки.

_______-3_________3__________

 +                        -               +

-3- точка максимума, 3- точка минимума.

Максимум равен -27+81=54; минимум 27-81=-54

2)  у= х⁴-4x²;y'=4х³-8х; 4х³-8х=0;х=0;  х=±√2

_________-√2____0_____√2__________

-                         +           -               +

0- точки максимума, ±√2- точки минимума.

Максимум равен 0; минимум равен 4-8=-4

3. y= (x+1)²*(x+5)²=(х²+6х+5)²; y'=2*(х²+6х+5)*(2х+6)

Корень х=-3;  а первая скобка по Виету х=-1;х=-5

________-5______-3_________-1_____________________

   -                    +              -                 +

-5  и -1 -точки минимума, х= -3- точка максимума.

Минимумы равны нулю, а максимум 16

4. y= √(1-x²), производная равна -2х/(2*√(1-x²)), ОДЗ

__-1___1____

-         +     -         х∈(-1;1)

х=0

__-1___0__1__

       +      -

х=0-точка максимума, максимум в ней равен 1

Answer 2

Для знаходження екстремумів функцій, спершу знайдемо похідні цих функцій та встановимо їхні критичні точки.

1. Функція: у = x^3 - 27x Похідна: у' = 3x^2 - 27 Критичні точки: 3x^2 - 27 = 0 x^2 - 9 = 0 (x - 3)(x + 3) = 0 Таким чином, x = -3 і x = 3 є критичними точками.

2. Функція: у = x^4 - 4x^2 Похідна: у' = 4x^3 - 8x Критичні точки: 4x^3 - 8x = 0 4x(x^2 - 2) = 0 З цього випливає, що x = 0 і x = ±√2 є критичними точками.

3. Функція: y = (x + 1)^2 * (x + 5)^2 Похідна: y' = 2(x + 1)(x + 5) * (x + 1) + 2(x + 1)(x + 5) * (x + 5) y' = 2(x + 1)(x + 5)(2x + 6x + 10) y' = 2(x + 1)(x + 5)(8x + 10) Критичні точки: 2(x + 1)(x + 5)(8x + 10) = 0 Звідси x = -1, x = -5, і x = -5/4 є критичними точками.

4. Функція: y = √(1 - x^2) Похідна: y' = (-2x) / (2√(1 - x^2)) y' = -x / √(1 - x^2) Критичні точки: y' = -x / √(1 - x^2) = 0 x = 0 Однак, ця похідна не визначена при x = ±1, тому ми повинні також враховувати ці точки.

Знайдені критичні точки є можливими місцями, де можуть знаходитися екстремуми. Щоб з'ясувати, чи є ці точки мінімумами або максимумами, необхідно використовувати другу похідну та відомості про знаки першої та другої похідних. Також можуть виникати випадки, коли екстремумів немає.

Якщо ви бажаєте продовжити обчислення для кожної з цих функцій, дайте мені знати, і я надам додаткову інформацію.