Question

Підсумкова контрольна робота з алгебри і початків аналізу 1 варіант 1.Знайти значення функції у(х)=2/(х-1) в точці х0= - 2. 2.Дослідити на парність функцію у(х)=х5 - 9х. 3. Тіло рухається прямолінійно за законом S(t) = t3 - 2t - 6 (час t вимірюється в секундах, S - у метрах). Знайти швидкість тіла в момент часу: t = 8. 4.Обчислити 2sin(- 60°) + cos(- 30°) + 2ctg(- 60°)tg(- 30°). 5.Спростити вираз (√15 +√3)(√15 - √3). 6.Обчислити: 625¹∕⁶⋅625¹∕³⋅625⁻¹∕⁴. 7.Розв'язати рівняння: х¹∕³= - 2. 8.Обчислити: ∜(10-√19)⋅∜(10+√19). 9. Обчислити похідну функції: y(х) = 2sinx + х3 – 5х + 4. 10.Знайти корені рівняння: 2cos 2x -1=0. 11.Знайти суму найбільшого і найменшого значень функції у = х³ – 12х + 7 на відрізку ⌈1;5⌉. 12.Знайти проміжки зростання, спадання та екстремуми функції ƒ(х) = 3 - 5х² + 4х³

Answer 1

Ответ:

5.

$( \sqrt{15} + \sqrt{3} ) \times ( \sqrt{15} - \sqrt{3} ) = \sqrt{15} {}^{2} - \sqrt{3} {}^{2} = 15 - 3 = 2$

Answer 2

Давайте розв'яжемо ці задачі по порядку:

1. Знайдіть значення функції у(х) = 2/(х-1) в точці х₀ = -2: У(x₀) = 2/(-2 - 1) = 2/(-3) = -2/3.

2. Дослідіть функцію y(x) = x^5 - 9x на парність: Функція y(x) = x^5 - 9x не є парною, оскільки y(-x) = (-x)^5 - 9(-x) = -x^5 + 9x ≠ y(x).

3. Знайдіть швидкість тіла в момент часу t = 8: Швидкість тіла - це перша похідна від функції S(t) за часом: V(t) = S'(t) = d/dt(t^3 - 2t - 6) = 3t^2 - 2. Тепер знайдемо швидкість в момент часу t = 8: V(8) = 3 * 8^2 - 2 = 3 * 64 - 2 = 190 м/с.

4. Обчисліть вираз 2sin(-60°) + cos(-30°) + 2ctg(-60°)tg(-30°): Відомо, що sin(-60°) = -sin(60°) = -√3/2, cos(-30°) = cos(30°) = √3/2, і ctg(-60°) = -1/√3, tg(-30°) = -1/√3. Тепер обчислимо вираз: 2sin(-60°) + cos(-30°) + 2ctg(-60°)tg(-30°) = 2 * (-√3/2) + √3/2 - 2 * (1/√3) * (-1/√3) = -√3 + √3 + 2/3 = 2/3.

5. Спростіть вираз (√15 + √3)(√15 - √3): Використовуючи формулу (a + b)(a - b) = a^2 - b^2, отримаємо: (√15 + √3)(√15 - √3) = (√15)^2 - (√3)^2 = 15 - 3 = 12.

6. Обчисліть 625^(1/6) * 625^(1/3) * 625^(-1/4): Використовуючи властивість a^(m) * a^(n) = a^(m + n), ми можемо об'єднати степені: 625^(1/6 + 1/3 - 1/4) = 625^(4/12 + 8/12 - 3/12) = 625^(9/12) = 625^(3/4).

7. Розв'яжіть рівняння x^(1/3) = -2: Щоб вирішити це рівняння, піднесемо обидві сторони до куба: (x^(1/3))^3 = (-2)^3, x = -8.

8. Обчисліть ∜(10 - √19) * ∜(10 + √19): Використовуючи властивість кореня четвертого степеня, ми можемо об'єднати корені: ∜(10 - √19) * ∜(10 + √19) = ∜((10 - √19) * (10 + √19)) = ∜(10^2 - √19^2) = ∜(100 - 19) = ∜81 = 3.

9. Знайдіть похідну функції y(x) = 2sin(x) + x^3 - 5x + 4: y'(x) = 2cos(x) + 3x^2 - 5.

10. Знайдіть корені рівняння 2cos(2x) - 1 = 0: 2cos(2x) - 1 = 0, 2cos(2x) = 1, cos(2x) = 1/2. Розв'язок для 2x від 0 до 2π: 2x = π/3 і 2x = 5π/3, x = π/6 і x = 5π/6.

11. Знайдіть суму найбільшого і найменшого значень функції y = x^3 - 12x + 7 на відрізку [1, 5]: Спершу знайдемо значення функції на кінцях відрізку: y(1) = 1^3 - 12 * 1 + 7 = -4, y(5) = 5^3 - 12 * 5 + 7 = 118. Тепер знайдемо найбільше і найменше значення на цьому відрізку. Максимальне значення - це 118, а мінімальне - (-4). Сума цих значень дорівнює 118 - 4 = 114.

12. Знайдіть проміжки зростання, спадання та екстремуми функції ƒ(x) = 3 - 5x^2 + 4x^3: Знайдемо похідну функції ƒ'(x) = -10x + 12x^2. Знайдемо критичні точки, розв'язавши рівняння ƒ'(x) = 0: -10x + 12x^2 = 0, -10x(1 - 1.2x) = 0, x = 0 та x = 5/6. Тепер визначимо знак похідної на проміжках між цими точками: -10x + 12x^2 < 0 при x ∈ (0, 5/6), тобто функція спадає на цьому проміжку. -10x + 12x^2 > 0 при x ∈ (-∞, 0) об'єднано з (5/6, ∞), тобто функція зростає на цих проміжках. Так як функція спочатку спадає і потім зростає, точка x = 0 є локальним мінімумом, а x = 5/6 є локальним максимумом функції ƒ(x).