Question

•Постройте график функции y=(7x-5)/(7x2-5x) Определите при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку. • Построите график функции y=(4|x|-1)/(|x|-4x2) Определите при каких значениях k прямая y=kx не имеет с графиком общих точек

Answer 1

$y=\frac{7x-5}{7x^2-5x}$

Область определения:

$7x^2-5x\neq 0$

$x(7x-5)\neq 0$

$x\neq 0$  и $x\neq \frac{5}{7}$

Тогда

$y=\frac{7-5}{x(7x-5)}$  

Сократим на  $7x-5$  получим  

$y=\frac{1}{x}$

Графики функций     $y=\frac{1}{x}$    и   $y=\frac{7x-5}{7x^2-5x}$

совпадают за исключением  одной точки.

На графике $y=\frac{7x-5}{7x^2-5x}$  нет точки с абсциcсой $x= \frac{5}{7}$

Прямая y=kx, проходящая через точку (  $\frac{5}{7}; \frac{7}{5}$ )  будет иметь с графиком ровно одну общую точку

$\frac{7}{5}=k\cdot \frac{5}{7}$

$k=\frac{49}{25}$

О т в е т. $k=\frac{49}{25}$

2.

$y=\frac{4|x|-1}{|x|-4x^2}$

Область определения:

$|x|-4x^2\neq 0$

$|x|(1-4|x|)\neq 0$

$x\neq 0$  и $x\neq\pm \frac{1}{4}$

Сократим на  $4|x|-1$  получим  

$y=-\frac{1}{|x|}$

Графики функций     $y=-\frac{1}{|x|}$    и   $y=\frac{4|x|-1}{|x|-4x^2}$

совпадают за исключением  двух  точек.

На графике $y=\frac{4|x|-1}{|x|-4x^2}$  нет точек с абсциcсами $x=\pm \frac{1}{4}$

Прямые y=kx, проходящие через точки (  $-\frac{1}{4}; -4$ )    и  (  $\frac{1}{4}; -4$ ) не будут иметь с графиком общих точек

Найдем k:

$4=k\cdot (\pm\frac{1}{4})$

$k=\pm16$

О т в е т. $k=\pm16$

Answer 2

Давайте начнем с анализа первой функции:

1. Функция y = (7x - 5) / (7x^2 - 5x)

Для того чтобы найти значения k, при которых прямая y = kx имеет с графиком этой функции ровно одну общую точку, нужно найти точку пересечения между этой прямой и графиком функции.

Подставим уравнение прямой в уравнение функции и решим уравнение относительно x:

kx = (7x - 5) / (7x^2 - 5x)

Умножим обе стороны на знаменатель:

kx * (7x^2 - 5x) = 7x - 5

Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону:

7kx^3 - 5kx^2 - 7x + 5 = 0

Это уравнение кубической функции. Для прямой y = kx может существовать только одна точка пересечения с графиком этой функции, если это уравнение имеет кратность корня 3. Это значит, что уравнение имеет вид:

(ux - v)^3 = 0

где u и v — некоторые числа. Раскроем скобку и сравним коэффициенты:

ux^3 - 3uvx^2 + 3u^2vx - v^3 = 7kx^3 - 5kx^2 - 7x + 5

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений:

u = 7k 3uv = 5k 3u^2v = -7 v^3 = -5

Из первого уравнения находим u, подставляем во второе и находим v:

u = 7k 3(7k)v = 5k v = 5 / (21k)

Теперь подставляем u и v в третье уравнение:

3(7k)^2 * (5 / (21k)) = -7

После упрощения и решения этого уравнения относительно k получаем:

k = -1/9

Таким образом, прямая y = -x/9 имеет ровно одну общую точку с графиком функции.

2. Функция y = (4|x| - 1) / (|x| - 4x^2)

Для того чтобы найти значения k, при которых прямая y = kx не имеет с графиком этой функции общих точек, нужно рассмотреть, при каких значениях k график прямой не пересекает график функции.

Аналогично предыдущему анализу, можно подставить уравнение прямой в уравнение функции:

kx = (4|x| - 1) / (|x| - 4x^2)

И далее аналогично уравнению выше получить уравнение в зависимости от k, |x| и x^2. Однако, решение этого уравнения аналитически может быть сложным из-за модулей и квадратов в знаменателе.

Чтобы более точно определить, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком функции общих точек, можно воспользоваться численными методами, например, методом подбора. Вы можете поочередно пробовать разные значения k и строить графики функции и прямой, чтобы определить, где они не пересекаются.