Question

Решить неравенства методом интервалов (х+5)(х-7) <0 (х-1)²(2х-1)(х+2) <или = 0

Answer 1

1) (x + 5)(x - 7) < 0

    +              -            +

______₀______₀_______

          - 5            7

            //////////////

Ответ : x ∈ ( - 5 ; 7)

2) (x - 1)² (2x - 1)(x + 2) ≤ 0

(x - 1)² * 2(x - 0,5)(x + 2) ≤ 0

(x - 1)²(x - 0,5)(x + 2) ≤ 0

    +                 -                   +                +

______[- 2]______[0,5]______[1]_______

              ////////////////////

Ответ : x ∈ [ - 2 ; 0,5]

Answer 2

Для решения неравенств методом интервалов, мы должны определить значения переменной x, при которых выражение меняет знак. Затем мы можем построить интервалы, в которых неравенство выполняется, и интервалы, в которых оно не выполняется. Давайте рассмотрим каждое неравенство по отдельности.

1. Неравенство: (x + 5)(x - 7) < 0

Сначала найдем точки, где выражение меняет знак. Это происходит, когда один из множителей становится равен 0. Таким образом, рассмотрим значения x, при которых x + 5 = 0 и x - 7 = 0:

x + 5 = 0 => x = -5 x - 7 = 0 => x = 7

Теперь мы знаем, что интервалы, где выражение меняет знак, находятся между -5 и 7, и вне этого интервала.

2. Неравенство: (x - 1)²(2x - 1)(x + 2) ≤ 0

Сначала найдем точки, где выражение равно 0 или неопределено. Это происходит, когда (x - 1)² = 0, 2x - 1 = 0 и x + 2 = 0:

(x - 1)² = 0 => x = 1 2x - 1 = 0 => x = 1/2 x + 2 = 0 => x = -2

Теперь мы знаем, что интервалы, где выражение равно 0 или неопределено, находятся в точках -2, 1/2 и 1.

Теперь мы можем использовать найденные точки для определения интервалов, в которых неравенства выполняются:

1. Для (x + 5)(x - 7) < 0: -5 < x < 7

2. Для (x - 1)²(2x - 1)(x + 2) ≤ 0: x ≤ -2 -2 ≤ x ≤ 1/2

Объединяя результаты для обоих неравенств, мы получаем: -5 < x ≤ -2 -2 ≤ x ≤ 1/2 1/2 < x < 7

Это и есть интервалы, в которых неравенства выполняются.