Question

Дан эллипс: F 1,2 =(+-5;0) и B 1,2=(0;+-2). Напишите уравнение эллипса, найти оси и эксцентриситет

Answer 1

Ответ: Уравнение эллипса $\frac{x^2}{29}+\frac{y^2}{4}=1$; оси симметрии данного эллипса являются осями координат(или ось Ох и Оу); ε =5/√(29)

Объяснение:

Дан эллипс: F₁ =(-5;0); F₂ =(5;0)  и B₁=(0;-2); B₂=(0;2). Напишите уравнение эллипса, найти оси и эксцентриситет

Решение:

фокусное расстояние эллипса с = 5 (от точки F до точки О)

малая полуось b = 2

большая полуось а находится из соотношения

                             а² = b² + c²

                             a² = 2² + 5² = 4 + 25 = 29

                             $a =\sqrt{29}$

уравнение эллипса:

                                              $\frac{x^2}{29}+\frac{y^2}{4}=1$

- каноническое уравнение эллипса

Оси координат являются осями симметрии эллипса, а начало координат - его центром симметрии.

Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом .

ε = с/ a = 5/√(29)

Answer 2

Уравнение эллипса можно записать в канонической форме:

$\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1,$

где (h, k) - координаты центра эллипса, а 'a' и 'b' - полуоси эллипса (большая и малая соответственно).

Известно, что F1 = (+5, 0), F2 = (-5, 0), B1 = (0, +2) и B2 = (0, -2).

Сначала найдем координаты центра (h, k). Так как центр эллипса находится посередине между фокусами по горизонтали и вертикали, координаты центра будут:

$h = \frac{F_{1x} + F_{2x}}{2} = \frac{5 + (-5)}{2} = 0,$ $k = \frac{B_{1y} + B_{2y}}{2} = \frac{2 + (-2)}{2} = 0.$

Таким образом, центр эллипса (h, k) = (0, 0).

Далее, найдем полуоси 'a' и 'b'. Полуоси связаны с расстояниями от центра до фокусов и вершин эллипса:

$a = \frac{1}{2} \cdot (F_{2x} - F_{1x}) = \frac{1}{2} \cdot (-5 - 5) = -5,$ $b = \frac{1}{2} \cdot (B_{1y} - B_{2y}) = \frac{1}{2} \cdot (2 - (-2)) = 2.$

Так как 'a' и 'b' должны быть положительными, возьмем их по модулю:

$a = 5,$ $b = 2.$

Теперь мы можем записать уравнение эллипса в канонической форме:

$\frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1.$

Эксцентриситет эллипса можно вычислить по формуле:

$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}.$

Подставляя значения 'a' и 'b':

$e = \sqrt{1 - \frac{2^2}{5^2}} = \sqrt{1 - \frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}.$

Итак, уравнение эллипса: $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{4} = 1$, а эксцентриситет $e = \frac{\sqrt{21}}{5}$.