Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x^2, y = -2х.

Answer 1

Объяснение:

$y=x^2\ \ \ \ y=-2x\ \ \ \ S=?\\x^2=-2x\\x^2+2x=0\\x*(x+2)=0\\x_1=-2\ \ \ \ x_2=0\\S=\int\limits^0_{-2} {(-2x-x^2)} \, dx=(-x^2-\frac{x^3}{3})\ |_{-2}^0=-0^2-\frac{0^3}{3}-(-(-2)^2-\frac{(-2)^3}{3})=\\=-(-4-(-\frac{8}{3})-(-4+2\frac{2}{3})=-(-1\frac{1}{3})=1\frac{1}{3}=\frac{4}{3} .$

Ответ: S=1,3333 кв.ед.

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями $y = x^2$ и $y = -2x$, нам нужно найти точки пересечения этих двух функций. После этого мы можем интегрировать разность между ними по оси x для вычисления площади.

Сначала найдем точки пересечения:

$x^2 = -2x$ $x^2 + 2x = 0$ $x(x + 2) = 0$

Отсюда получаем две возможные x-координаты точек пересечения: $x = 0$ и $x = -2$.

Теперь мы можем выразить y-координаты этих точек, используя уравнения $y = x^2$ и $y = -2x$:

Для $x = 0$, $y = 0^2 = 0$. Для $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$.

Таким образом, точки пересечения находятся в (0, 0) и (-2, 4).

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, нужно проинтегрировать разность между $y = x^2$ и $y = -2x$ от $x = -2$ до $x = 0$:

$A = \int_{-2}^{0} (x^2 - (-2x)) \, dx$

$A = \int_{-2}^{0} (x^2 + 2x) \, dx$

$A = \left[\frac{x^3}{3} + x^2\right]_{-2}^{0}$

$A = \left(0 - \frac{(-2)^3}{3}\right) - \left(\frac{0^3}{3} + 0^2\right)$

$A = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2$ и $y = -2x$, равна $\frac{8}{3}$ квадратных единиц.