Question

Прямые x=1 и y=2, являются асимптотами дробно-линейной функции y=(ax-2)/(3x+d) a) Найдите значения a и d. b) Постройте эскиз данного графика.даю 40 баллов​

Answer 1

Ответ:

Значения a = 6; d = -3

Объяснение:

$\displaystyle y = \frac{ax-2}{3x+d}$

Асимптота y = kx + b - это прямая, к которой неограниченно приближается график функции, не пересекая ее.

1) Вертикальная асимптота проходит через точку, в которой функция не определена.

Знаменатель не равен нулю. Заданная функция не определена в точке

$\displaystyle 3x+d=0; \;\;\;3x = -d; \;\;\; x = -\frac{d}{3} = 1; \;\;\; d = -3$

2) Горизонтальная асимптота y = b, по условию y = 2.

$\displaystyle b = \lim_{x\to \infty} f(x)= \lim_{x\to \infty} \frac{ax-2}{3x-3} = \lim_{x\to \infty} \frac{a-\frac{2}{x} }{3-\frac{3}{x} } =\frac{a}{3} =2; \\\\a = 6$

Значения a = 6; d = -3

Функция имеет вид

$\displaystyle y = \frac{6x-2}{3x-3}$

График функции прилагается.

Answer 2

Для начала, чтобы прямые x=1 и y=2 были асимптотами для функции y = (ax - 2) / (3x + d), должны выполняться следующие условия:

1. При x, стремящемся к плюс или минус бесконечности, функция должна стремиться к вертикальной асимптоте x = 1 (поскольку x=1 — вертикальная прямая) и горизонтальной асимптоте y = 2 (поскольку y=2 — горизонтальная прямая).

2. Горизонтальная асимптота также может быть найдена с помощью предела, когда x стремится к плюс или минус бесконечности:

   lim(x -> ±∞) [(ax - 2) / (3x + d)] = 0

   Так как горизонтальная асимптота y=2, то a = 2.

3. Вертикальная асимптота будет определена путем анализа предела, когда x стремится к 1:

   lim(x -> 1) [(2x - 2) / (3x + d)] = ±∞

   Чтобы это предел был бесконечностью, числитель должен стремиться к бесконечности, а знаменатель к нулю:

   lim(x -> 1) (2x - 2) = ±∞ lim(x -> 1) (3x + d) = 0

   Решая последнее уравнение, получаем d = -3.

Итак, a = 2, d = -3.

Теперь мы можем построить эскиз графика функции. На графике будут видны вертикальная асимптота x = 1 и горизонтальная асимптота y = 2.

На графике также будут видны точки, где функция пересекает асимптоты и меняет своё поведение.