Question

Найди наименьшее возможное значение функции F(x,y)=3x2+4xy+3y2−2x+2y+10, если числа x, y пробегают всевозможные действительные числа.

Answer 1

Ответ:21

Объяснение:

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции $F(x, y) = 3x^2 + 4xy + 3y^2 - 2x + 2y + 10$ при $x$ и $y$ пробегающих все действительные числа, мы можем воспользоваться методом дифференциального исчисления. Для этого найдем частные производные функции $F$ по $x$ и $y$:

$$\frac{\partial F}{\partial x} = 6x + 4y - 2$$

$$\frac{\partial F}{\partial y} = 4x + 6y + 2$$

Чтобы найти критические точки функции $F$, приравняем обе частные производные к нулю:

$$6x + 4y - 2 = 0 \quad \text{(1)}$$

$$4x + 6y + 2 = 0 \quad \text{(2)}$$

Теперь решим эту систему уравнений. Сначала выразим $x$ из уравнения (1):

$$6x = -4y + 2$$

$$x = -\frac{4}{6}y + \frac{1}{3}$$

$$x = -\frac{2}{3}y + \frac{1}{3}$$

Теперь подставим это значение $x$ в уравнение (2):

$$4\left(-\frac{2}{3}y + \frac{1}{3}\right) + 6y + 2 = 0$$

Упростим:

$$-\frac{8}{3}y + \frac{4}{3} + 6y + 2 = 0$$

$$-\frac{8}{3}y + 6y + \frac{4}{3} + 2 = 0$$

$$\frac{10}{3}y + \frac{10}{3} = 0$$

Теперь выразим $y$:

$$\frac{10}{3}y = -\frac{10}{3}$$

$$y = -1$$

Теперь, когда мы нашли $y$, мы можем найти $x$ с использованием уравнения (1):

$$6x + 4(-1) - 2 = 0$$

$$6x - 4 - 2 = 0$$

$$6x - 6 = 0$$

$$6x = 6$$

$$x = 1$$

Теперь у нас есть критическая точка $(x, y) = (1, -1)$. Чтобы найти наименьшее значение функции $F$, подставим эти значения в $F(x, y)$:

$$F(1, -1) = 3(1)^2 + 4(1)(-1) + 3(-1)^2 - 2(1) + 2(-1) + 10$$

$$F(1, -1) = 3 - 4 - 3 - 2 - 2 + 10$$

$$F(1, -1) = 2$$

Итак, наименьшее возможное значение функции $F(x, y)$ равно 2, и оно достигается при $x = 1$ и $y = -1$.