Question

Найди наименьшее возможное значение функции F(x,y)=4x2+6xy+4y2+4x−4y+5, если числа x, y пробегают всевозможные действительные числа.

Answer 1

Ответ: -3

Объяснение:

1. Заметим, что

F(x,y)=3x2+2⋅3xy+3y2+x2+2⋅2x+22+y2−2⋅2y+22−3.

2. Отсюда, пользуясь формулой для квадрата суммы и квадрата разности, находим:

F(x,y)=3(x+y)2+(x+2)2+(y−2)2−3.

3. Так как квадрат действительного числа всегда не меньше нуля, получаем

F(x,y)≥−3.

4. Но значение −3 достигается функцией F(x,y) при x=−2 и y=2:

F(−2,2)=−3.

Следовательно наименьшее возможное значение функции F(x,y) равно −3.

Answer 2

Для нахождения наименьшего возможного значения функции F(x, y) = 4x^2 + 6xy + 4y^2 + 4x - 4y + 5, нужно найти её минимум. Мы можем сделать это, взяв производные по x и y и приравняв их к нулю, чтобы найти критические точки, а затем использовать тест второй производной, чтобы убедиться, что это действительно минимум. Воспользуемся калькулятором для вычисления производных:

Частная производная по x: ∂F/∂x = 8x + 6y + 4

Частная производная по y: ∂F/∂y = 6x + 8y - 4

Теперь приравняем их к нулю и решим систему уравнений:

8x + 6y + 4 = 0 6x + 8y - 4 = 0

Мы можем решить эту систему уравнений. Сначала из первого уравнения выразим x:

8x + 6y + 4 = 0 8x = -6y - 4 x = (-6y - 4)/8 x = -3y/4 - 1/2

Теперь подставим это значение x во второе уравнение:

6x + 8y - 4 = 0 6(-3y/4 - 1/2) + 8y - 4 = 0 -9y/2 - 3 + 8y - 4 = 0 -9y/2 + 8y - 7 = 0

Умножим оба уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

-9y + 16y - 14 = 0

7y - 14 = 0

7y = 14

y = 2

Теперь найдем соответствующее значение x, используя уравнение x = -3y/4 - 1/2:

x = -3(2)/4 - 1/2 x = -3/2 - 1/2 x = -2

Теперь у нас есть критическая точка (x, y) = (-2, 2). Чтобы убедиться, что это минимум, мы можем использовать тест второй производной. Для этого найдем вторые частные производные:

Частная производная второго порядка по x: ∂²F/∂x² = 8

Частная производная второго порядка по y: ∂²F/∂y² = 8

Частная производная второго порядка по x и y: ∂²F/∂x∂y = 6

Теперь составим матрицу вторых частных производных и подставим значения (-2, 2):

Hessian Matrix: | 8 6 | | 6 8 |

Определитель этой матрицы равен (8 * 8) - (6 * 6) = 64 - 36 = 28, что положительно.

Также, главные миноры матрицы (8) и (8) являются положительными.

Это означает, что точка (-2, 2) является точкой локального минимума. Теперь найдем значение функции F в этой точке:

F(-2, 2) = 4(-2)^2 + 6(-2)(2) + 4(2)^2 + 4(-2) - 4(2) + 5 F(-2, 2) = 4(4) - 24 + 16 - 8 - 8 + 5 F(-2, 2) = 16 - 24 + 16 - 8 - 8 + 5 F(-2, 2) = 0

Таким образом, наименьшее возможное значение функции F(x, y) равно 0, и оно достигается в точке (-2, 2).