Question

Не вычисляя корней уравнения 3x2 – 2x – 7 = 0, определи сумму их кубов.​

Answer 1

$3x^2 - 2x - 7 = 0$

$D = (-2)^2 - 4\cdot(-7)\cdot 3 = 4 + 4\cdot 7\cdot 3 > 0$

Итак, уравнение имеет два различных корня.

По теореме Виета имеем:

$x_1+x_2 = \frac{2}{3}$

$x_1\cdot x_2 = -\frac{7}{3}$

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)\cdot(x_1^2 - x_1\cdot x_2 + x_2^2) =$

$= (x_1+x_2)\cdot( x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2 - 3x_1 x_2) =$

$= (x_1+x_2)\cdot( (x_1 + x_2)^2 - 3x_1 x_2) =$

$= \frac{2}{3}\cdot( (\frac{2}{3})^2 - 3\cdot(-\frac{7}{3}) ) =$

$= \frac{2}{3}\cdot( \frac{4}{9} + 7 ) = \frac{2}{3}\cdot\frac{4}{9} +$

$+ \frac{2}{3}\cdot 7 = \frac{8}{27} + \frac{14}{3} =$

$= \frac{8+14\cdot 9}{27} = \frac{8+126}{27} = 4\frac{26}{27}$

Ответ. $4\frac{26}{27}$.

Answer 2

Чтобы найти сумму кубов корней уравнения $3x^2 - 2x - 7 = 0$, можно воспользоваться формулой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ сумма кубов корней равна:

$$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$$

Сначала найдем сумму корней $x_1 + x_2$. По формуле Виета:

$$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{2}{3}$$

Теперь найдем произведение корней $x_1x_2$:

$$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{7}{3}$$

Используя эти значения, можем найти сумму кубов корней:

$$x_1^3 + x_2^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 - 3\left(-\frac{7}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{8}{27} + \frac{14}{3} = \frac{8}{27} + \frac{42}{27} = \frac{50}{27}$$

Итак, сумма кубов корней уравнения $3x^2 - 2x - 7 = 0$ равна $\frac{50}{27}$.