Question

Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка: а) y"+6y"+9y=0 б)y"-y=0 в)y"-2y"+10y=0

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии .

Answer 2

Для нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, вам нужно найти характеристическое уравнение и его корни.

a) Уравнение y'' + 6y' + 9y = 0:

Характеристическое уравнение будет иметь следующий вид:

r^2 + 6r + 9 = 0

Это квадратное уравнение имеет единственное решение:

(r + 3)^2 = 0

r + 3 = 0

r = -3

У нас есть один корень -3, который имеет кратность 2. Таким образом, общее решение будет иметь вид:

y(t) = (C1 + C2t)e^(-3t)

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

б) Уравнение y'' - y = 0:

Характеристическое уравнение:

r^2 - 1 = 0

Это квадратное уравнение имеет два корня:

r1 = 1 и r2 = -1

Общее решение будет иметь вид:

y(t) = C1e^t + C2e^(-t)

в) Уравнение y'' - 2y' + 10y = 0:

Характеристическое уравнение:

r^2 - 2r + 10 = 0

Для этого уравнения вычислим дискриминант D:

D = (-2)^2 - 4(1)(10) = 4 - 40 = -36

Поскольку дискриминант отрицательный, у нас есть два комплексных корня:

r1 = (2 + 6i) и r2 = (2 - 6i)

Общее решение будет иметь вид:

y(t) = e^(2t)(C1cos(6t) + C2sin(6t))

где C1 и C2 - произвольные постоянные.