Question

(bn)-геометрическая прогрессия в которой,b1+b2=6 а b2+b3=30 Найдите сумму первых трех членов этой прогрессии

Answer 1

Ответ:

S₃ = 31

Объяснение:

Формула для нахождения  $b_n$  в геометрической прогрессии :


$\boldsymbol{b_n=b_1+(n-1)q}$

Формула для нахождения суммы n-x членов прогрессии :

$\boldsymbol{S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1} }$


Где  

b₁ - первый член прогрессии

q - знаменатель прогрессии

n- номер  последнего числа прогрессии

По условию нам известно что :

$1) ~ b_1+b_2=6 \\\\ 2) ~ b_2+b_3=30$

Если расписать по формуле то выйдет :

$1) ~ b_1+b_1q=6 \\\\ 2) ~ b_1q+b_1q^2=30$


Составим систему

$\left \{ \begin{array}{lll} b_1+b_1q=6 \\\\ b_1q+b_1q^2=30 \end{array}\right \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{lll} b_1 (1+q)=6 \\\\ b_1(q+q^2)=30 \end{array}\right$

Разделим первое уравнение системы на второе

$> <strong>По теореме Виета  : </strong><img src=$

Найдем  значение b₁  при q  =  -1

$b_1(q+1)=6\\\\b_1(-1+1)=6 \\\\ 0 \neq 6$

Нет решений  при  q  =  -1

Найдем  значение b₁  при q  =  5


$\hspace{em }b_1(1+5)=6 \\\\ 6b_1=6 \\\\ b_1=1$


Найдем сумму первых трех членов :

$S_3=\dfrac{1((5)^3-1)}{5-1} =\dfrac{124}{4} =31$

Answer 2

Для нахождения суммы первых трех членов (S3) геометрической прогрессии с начальным членом b1 и множителем b (где b ≠ 1), мы можем воспользоваться следующей формулой:

S3 = b1 + b1b + b1b^2

Из условия известно, что b1 + b2 = 6 и b2 + b3 = 30.

Давайте решим эту систему уравнений, чтобы найти значения b1, b2 и b3:

1. b1 + b2 = 6
2. b2 + b3 = 30

Выразим b1 и b3 из этих уравнений:

b1 = 6 - b2 b3 = 30 - b2

Теперь мы можем подставить эти значения в формулу для S3:

S3 = (6 - b2) + (6 - b2)b + (6 - b2)b^2

Теперь давайте найдем b2. Для этого выразим его из уравнения b2 + b3 = 30:

b2 = 30 - b3

Теперь подставим это значение обратно в формулу S3:

S3 = (6 - (30 - b3)) + (6 - (30 - b3))b + (6 - (30 - b3))b^2

S3 = (6 - 30 + b3) + (6 - 30 + b3)b + (6 - 30 + b3)b^2

S3 = (-24 + b3) + (-24 + b3)b + (-24 + b3)b^2

Теперь, если мы раскроем скобки, получим:

S3 = -24 + b3 - 24b + b3b - 24b^2 + b3b^2

Теперь, мы можем объединить подобные члены:

S3 = (-24 - 24b - 24b^2) + (2b3 + b3b + b3b^2)

S3 = -24(1 + b + b^2) + b3(2 + b + b^2)

Теперь, мы можем подставить значение b3 из уравнения b3 = 30 - b2:

S3 = -24(1 + b + b^2) + (30 - b2)(2 + b + b^2)

Теперь, мы можем заменить b2 на 30 - b3:

S3 = -24(1 + b + b^2) + (30 - (30 - b3))(2 + b + b^2)

S3 = -24(1 + b + b^2) + b3(2 + b + b^2)

Теперь мы можем выразить S3 в терминах b и b3:

S3 = -24(1 + b + b^2) + b3(2 + b + b^2)

Теперь мы можем рассчитать S3, зная значения b1, b2 и b3.