Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 1) y=4-x², y=x²-2x 2) y= 1/x, у=x²

Answer 1

Ответ:

9 кв

Объяснение:

y=4−x

2

y=x

2

−2x S=?

4−x

2

=x

2

−2x

2x

2

−2x−4=0∣:2

x

2

−x−2=0

D=9

D

=3

x

1

=−1 x

2

=2. ⇒

S=

−1

∫

2

(4−x

2

−(x

2

−2x))dx=

−1

∫

2

(4−x

2

−x

2

+2x)dx=

=

−1

∫

2

(4+2x−2x

2

)dx=2∗

−1

∫

2

2+x−x

2

dx=2∗(2x+

2

x

2

−

3

x

3

) ∣

−1

2

=

=2∗(2∗2+

2

2

2

−

3

2

3

−(2∗(−1)+

2

(−1)

2

−

3

(−1)

3

)=

=2*(4+2-\frac{8}{3}- (-2+\frac{1}{2} +\frac{1}{3}))=2*(6-\frac{8}{3} +1,5-\frac{1}{3})=2*4,5=9.=2∗(4+2−

3

8

−(−2+

2

1

+

3

1

))=2∗(6−

3

8

+1,5−

3

1

)=2∗4,5=9.

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной данными функциями, нужно найти точки их пересечения и определить интервалы интегрирования. Затем мы можем использовать интеграл для вычисления площади.

1. y = 4 - x² и y = x² - 2x:

Сначала найдем точки пересечения:

4 - x² = x² - 2x

Переносим все члены на одну сторону:

2x² - 2x - 4 = 0

x² - x - 2 = 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения:

(x - 2)(x + 1) = 0

Отсюда получаем два значения x: x = 2 и x = -1.

Теперь найдем соответствующие значения y, подставив их в уравнения:

Для x = 2: y = 4 - 2² = 4 - 4 = 0

Для x = -1: y = (-1)² - 2*(-1) = 1 + 2 = 3

Таким образом, точки пересечения - это (2, 0) и (-1, 3).

Чтобы найти площадь между этими кривыми, нужно взять интеграл разности этих функций на интервале [-1, 2]:

Площадь = ∫[от -1 до 2] (4 - x² - (x² - 2x)) dx

Площадь = ∫[от -1 до 2] (4 - x² - x² + 2x) dx

Площадь = ∫[от -1 до 2] (4 - 2x² + 2x) dx

Теперь вычислим этот интеграл:

Площадь = [4x - (2/3)x³ + x²] от -1 до 2

Площадь = [(42 - (2/3)2³ + 2²) - (4(-1) - (2/3)(-1)³ + (-1)²)]

Площадь = [8 - (16/3) + 4 - (-4 + (2/3) - 1)]

Площадь = [12/3 - 16/3 + 4 + 4/3 - 1]

Площадь = [-4/3 + 4/3 + 4 + 4/3 - 1]

Площадь = [4 + 4/3 - 1]

Площадь = [12/3 + 4/3 - 3/3]

Площадь = [16/3 - 3/3]

Площадь = [13/3] квадратных единиц.

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = 4 - x² и y = x² - 2x, равна 13/3 квадратных единиц.

2. y = 1/x и y = x²:

Чтобы найти площадь между этими кривыми, нужно взять интеграл разности этих функций на интервале, где они пересекаются. Точки пересечения этих кривых можно найти, приравняв уравнения:

1/x = x²

x² * 1/x - 1/x = 0

x - 1 = 0

x = 1

Таким образом, точка пересечения - это (1, 1).

Площадь фигуры будет находиться на интервале от 0 до 1, так как кривая y = 1/x ограничена осью x.

Теперь вычислим площадь, интегрируя разность функций:

Площадь = ∫[от 0 до 1] (1/x - x²) dx

Площадь = ∫[от 0 до 1] (1/x) dx - ∫[от 0 до 1] (x²) dx

Интеграл ∫(1/x) dx равен ln|x|, и интеграл ∫(x²) dx равен (x³/3).

Теперь подставим пределы интегрирования:

Площадь = [ln(1) - ln(0)] - [(1³/3 - 0³/3)]

Площадь = [ln(1) - (0)] - [1/3]

Площадь = [0 - 0] - [1/3]

Площадь = -1/3 квадратных единиц.

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = 1/x и y = x², равна -1/3 квадратных единиц.