Question

Y=3x²+6x-4 Найдите: 1) область определения функции 2) множество значений функции 3) вершина парраболы 4) промежутки возврастания и убывания 5) наибольшее и наименьшее значение функции

Answer 1

Ответ:

Функция

у = 3х² + 6х - 4

является квадратичной.

1) Область определения D(y) = (+∞; -∞)

2) График функции - квадратная парабола веточками вверх, поэтому область значений зависит от положения вершины параболы

E(y) = [-7; +∞)

3) Координаты вершины параболы (-1: -7)

$x = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-6}{2\cdot 3} = -1$

y = 3 · (-1)³ + 6 · (-1) - 4 = 3 - 6 - 4 = -7

4) Функция возрастает на интервале

х ∈ [-1; +∞)

Функция убывает на интервале

х ∈(-∞; -1]

5) Наибольшего значения функции не существует

Наименьшее значение функции у наим = -7

Answer 2

Давайте рассмотрим данную квадратичную функцию шаг за шагом:

1. Область определения функции: Область определения функции - это множество всех значений x, для которых функция определена без ограничений. В данном случае, функция является полиномом второй степени, и она определена для всех действительных чисел x. Таким образом, область определения функции - это множество всех действительных чисел, обозначается как R (все действительные числа).

2. Множество значений функции: Множество значений функции - это множество всех возможных значений y, которые может принимать функция. Поскольку это квадратичная функция, она может принимать любые значения, и её множество значений также будет всем множеством действительных чисел. Таким образом, множество значений функции также будет R (все действительные числа).

3. Вершина параболы: Чтобы найти вершину параболы, мы можем воспользоваться формулой для вершины параболы: x = -b / (2a), где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения ax² + bx + c.

В данном случае: a = 3 b = 6

x = -6 / (2 * 3) = -6 / 6 = -1

Теперь найдем значение функции в точке x = -1: y = 3 * (-1)² + 6 * (-1) - 4 = 3 * 1 - 6 - 4 = 3 - 6 - 4 = -7

Итак, вершина параболы находится в точке (-1, -7).

4. Промежутки возрастания и убывания: Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, мы можем анализировать знак производной функции. В данном случае, производная функции y' = 6x + 6.

Уравнение 6x + 6 = 0 имеет решение x = -1. Это значит, что производная меняет знак с отрицательного на положительный при x < -1 и с положительного на отрицательный при x > -1.

Следовательно, функция убывает на интервале (-бесконечность, -1) и возрастает на интервале (-1, +бесконечность).

5. Наибольшее и наименьшее значение функции: Мы уже нашли вершину параболы, которая является наименьшим значением функции. Наименьшее значение функции равно -7 и достигается при x = -1.

Чтобы найти наибольшее значение функции, можно заметить, что функция y = 3x² + 6x - 4 - это парабола, которая открывается вверх, и она не имеет верхнего ограничения. Таким образом, наибольшее значение функции является плюс бесконечностью.