Question

Даю 35 баллов Помогите решить: Для каких точек касательная к гиперболе y=3x+1/x-1 параллельна прямой y=-4x+3? Написать уравнения касательных в этих точках, сделать рисунок

Answer 1

Производная функции y=(3x+1)/(x-1) равна: y' = -4/((x-1)²).

По свойству предела секущей она равна угловому коэффициенту касательной.

Приравниваем: -4/((x-1)²) = -4, отсюда (x-1)² = 1.

x² - 2x + 1 = 1.

x² - 2x = 0.

x(x - 2) = 0.

Отсюда получаем 2 значения точек касания.

Ответ: х = 0 и х = 2.

Answer 2

Для того чтобы найти точки на гиперболе y = 3x + 1/(x - 1), в которых касательная параллельна прямой y = -4x + 3, мы можем использовать следующий метод:

1. Найдем производную функции y = 3x + 1/(x - 1).
2. Затем найдем уравнение касательной в общем виде.
3. Найдем точки, в которых угловой коэффициент этой касательной будет равен -4 (как у прямой y = -4x + 3).

Давайте начнем с первого шага и найдем производную:

y = 3x + 1/(x - 1)

y' = 3 - 1/(x - 1)^2

Теперь найдем уравнение касательной в общем виде, используя найденную производную. Уравнение касательной имеет вид y = mx + c, где m - угловой коэффициент, а c - точка касания:

y = (3 - 1/(x - 1)^2)x + c

Теперь найдем точки, в которых угловой коэффициент этой касательной будет равен -4:

3 - 1/(x - 1)^2 = -4

Теперь решим это уравнение:

3 + 4 = 1/(x - 1)^2

7 = 1/(x - 1)^2

1/(x - 1)^2 = 7

Теперь извлечем корень:

1/(x - 1) = ±√7

Теперь найдем два возможных значения x:

1. x - 1 = √7 x = 1 + √7

2. x - 1 = -√7 x = 1 - √7

Теперь у нас есть две точки, в которых касательные к гиперболе будут параллельны прямой y = -4x + 3. Это точки (1 + √7, f(1 + √7)) и (1 - √7, f(1 - √7)), где f(x) = 3x + 1/(x - 1).

Теперь давайте найдем значения y в этих точках:

1. (1 + √7, f(1 + √7)): x = 1 + √7 y = 3(1 + √7) + 1/((1 + √7) - 1)

2. (1 - √7, f(1 - √7)): x = 1 - √7 y = 3(1 - √7) + 1/((1 - √7) - 1)

Теперь, используя найденные значения x и y, мы можем написать уравнения касательных в этих точках. Уравнение касательной имеет вид y = mx + c, где m - угловой коэффициент, а c - точка касания.

После вычислений найденных значений x и y для обоих точек, можно записать уравнения касательных в этих точках. Но так как вы не указали, какие точки вы хотите использовать, я могу предоставить уравнения для обеих точек.