Question

Найти первообразную f(x) функции f(x)=2корень х Проходит через точку А(1;3/5)

Answer 1

$f(x)=2\sqrt{x}=2x^\frac{1}{2} \\ \\ F(x)=2\int {x^\frac{1}{2}} \, dx =2\cdot \frac{x^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}+C=2\cdot \frac{2}{3}\cdot x^\frac{3}{2}+C=\frac{4}{3}\sqrt{x^3} +C \\ \\ A(1; \ \frac{3}{5}) \\ \\ \frac{4}{3}\cdot \sqrt{1^3}+C=\frac{3}{5} \\ \\ \frac{4}{3}+C=\frac{3}{5} \\ \\ C=\frac{3}{5}-\frac{4}{3} =\frac{9-20}{15}=-\frac{11}{15} \\ \\ F(x)=\frac{4}{3}\sqrt{x^3}-\frac{11}{15}$

Answer 2

Для нахождения первообразной функции f(x) = 2√x, мы будем интегрировать эту функцию. Во-первых, найдем интеграл без постоянной:

∫(2√x) dx = 2 * ∫√x dx

Теперь найдем интеграл ∫√x dx:

∫√x dx = (2/3) * x^(3/2) + C

Где C - постоянная интеграции.

Теперь у нас есть первообразная функции без учета постоянной:

F(x) = (2/3) * x^(3/2) + C

Теперь, чтобы найти значение постоянной C, мы можем использовать информацию о точке A(1, 3/5):

F(1) = (2/3) * 1^(3/2) + C = (2/3) * 1 + C = 2/3 + C

Мы знаем, что F(1) должно быть равно 3/5, так как функция проходит через точку A(1, 3/5). Теперь мы можем решить уравнение:

2/3 + C = 3/5

Выразим C:

C = 3/5 - 2/3

Для удобства, найдем общий знаменатель:

C = (9/15) - (10/15)

C = -1/15

Таким образом, постоянная C равна -1/15. Теперь мы можем записать окончательную первообразную функции:

F(x) = (2/3) * x^(3/2) - 1/15

Это и есть первообразная функции f(x) = 2√x, проходящей через точку A(1, 3/5).