Question

Решить задачу Коши: (e^x+8)dy-ye^xdx=p , y(0)=1

Answer 1

Ответ:

-------------------------

Answer 2

Давайте рассмотрим данное дифференциальное уравнение:

(e^x + 8)dy - ye^xdx = p

Это уравнение не является линейным, и для его решения мы можем воспользоваться методом разделения переменных. Для начала, выразим все слагаемые, содержащие y, на одной стороне уравнения, а все слагаемые с x и dx - на другой:

(e^x + 8)dy = ye^xdx + pdx

Теперь разделим обе стороны уравнения на выражение, содержащее y с одной стороны и выражение, содержащее x и dx с другой:

dy / y = (ye^x + p)dx / (e^x + 8)

Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны относительно соответствующих переменных. Давайте начнем с интегрирования левой стороны:

∫(1/y)dy = ∫(ye^x + p)dx / (e^x + 8)

Интегралы будут следующими:

ln|y| = ∫(ye^x + p)dx / (e^x + 8)

Теперь мы интегрируем правую сторону. Для интегрирования числителя, можно использовать метод интегрирования по частям:

∫(ye^x + p)dx = ∫ye^xdx + ∫pdx

Интеграл ∫ye^xdx можно найти, снова применяя интегрирование по частям:

∫ye^xdx = y∫e^xdx - ∫(d/dx[y] * ∫e^xdx)dx

Интеграл ∫e^xdx просто равен e^x, поэтому:

∫ye^xdx = ye^x - ∫(y * e^x)dx

Теперь мы можем вернуться к правой стороне и подставить интегралы:

ln|y| = (ye^x - ∫(y * e^x)dx + ∫pdx) / (e^x + 8)

Теперь у нас есть уравнение, в котором нет производных. Давайте продолжим и решим его.

Для упрощения уравнения, мы можем возвести обе стороны в экспоненту:

|y| = e^((ye^x - ∫(y * e^x)dx + ∫pdx) / (e^x + 8))

Теперь учтем начальное условие y(0) = 1. Если y(0) = 1, то |y(0)| = 1. Это позволяет упростить уравнение:

1 = e^((1e^0 - ∫(1 * e^0)dx + ∫pdx) / (e^0 + 8))

1 = e^((1 - ∫dx + ∫pdx) / (1 + 8))

1 = e^((1 - x + ∫pdx) / 9)

Теперь мы можем избавиться от модуля, взяв положительный и отрицательный варианты:

y = ± e^((1 - x + ∫pdx) / 9)

Таким образом, решение вашей задачи Коши имеет две возможные формы:

1. y(x) = e^((1 - x + ∫pdx) / 9)
2. y(x) = -e^((1 - x + ∫pdx) / 9)

Здесь p(x) - это неопределенная функция, которую вы должны предоставить для получения конкретного числового решения.