Question

Решить дифференциальные уравнения с разделяющими переменными и задачу Коши

Answer 1

Разделим все на dx получим $-\frac{dy}{dx}(x^2y+x^2)=-(xy^2-y^2)$

Сделаем так чтобы в левой части осталось только dy/dx

Получим

$\frac{dy}{dx}=\frac{xy^2-y^2}{x^2y+x^2}=\frac{y^2}{y+1}\frac{x-1}{x^2}$ 

Теперь умножим все на $\frac{y+1}{y^2}$ получаем:

$\frac{y+1}{y^2}dy=\frac{x-1}{x^2}dx$

Возьмем интеграл от левой и правой части

 $\int{\frac{y+1}{y^2}}dy=\int{\frac{x-1}{x^2}}dx$

Находим значения интегралов получаем:

$ln(y)-\frac{1}{y}+C=ln(x)+\frac{1}{x}+C^1$ Можно объеденить С и С1 в одну константу, назовем ее С.

Этого я думаю достаточно. Чтобы решить задачу Коши нужны начальные условия, к сожалению здесь они не предоставлены. Поэтому попытаемся решить задачу Коши для произвольных начальных условий

 

y(a)=b , где a,b-константы

найдем сразу ln(y(a))=ln(b) и подставим все в уравнение

получим$ln(b)-\frac{1}{b}=ln(a)+\frac{1}{a}+C$ 

Отсюда

$C=ln(b)-\frac{1}{b}-ln(a)-\frac{1}{a}$

Т.е решеним задачи Коши для произвольных a и b, которые конечно должны принадлежать области определения функций указанных в общем решении уравнения (очевидно, что а и b не равны 0, т.к деление на ноль недопустимо и в общем то говоря а и b>0, если мы конечно не рассматриваем случая когда логарифмическая функция продолжается на комплексное пространство) будет:$ln(y)-\frac{1}{y}=ln(x)+\frac{1}{x}+(ln(b)-\frac{1}{b}-ln(a)-\frac{1}{a})$

 

Answer 2

Конечно, я могу помочь с решением дифференциального уравнения с разделяющими переменными и задачей Коши.

Уравнение с разделяющими переменными имеет вид:

\(\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)\),

где \(f(x)\) и \(g(y)\) - функции переменных \(x\) и \(y\) соответственно.

Давайте возьмем простой пример:

\(\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}\).

Чтобы решить это уравнение, давайте разделим переменные \(x\) и \(y\). Умножим обе стороны на \(y\), чтобы получить все \(y\) на одной стороне и все \(x\) на другой:

\(y \, dy = x \, dx\).

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

\(\int y \, dy = \int x \, dx\).

Интегрируя, получим:

\(\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C\),

где \(C\) - произвольная постоянная.

Чтобы найти конкретное решение с начальным условием (задача Коши), нам нужно значение \(y\) при заданном значении \(x\). Например, если задано начальное условие \(y(0) = 1\), то мы можем решить для \(C\):

\(\frac{1^2}{2} = \frac{0^2}{2} + C\),

\(C = \frac{1}{2}\).

Таким образом, уравнение с начальным условием \(y(0) = 1\) имеет вид:

\(\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}\).

Это простой пример решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными и задачей Коши. В реальности уравнения могут быть более сложными, но подход останется похожим: разделение переменных, интегрирование и использование начальных условий для нахождения констант.