Question

Решить задачу Коши: y'x-2yy'=2x+y y(1)=0

Answer 1

y¹(x-2y)=2x+y

y¹=(2x+y) / (x-2y)

Это однородное уравнение, разделим числитель и знаменатель на х:

          2+y/x

y¹ = -----------  Замена: t=y/x , y=tx , y¹=t¹x+tx¹=t¹x+t

          1-2y/x 

t¹x+t=(2+t)/(1-2t)

         2t²+2          dx        (1-2t) dt

t¹ = ----------    ,  ----- = -------------

         x(1-2t)        x          2(t²+1)  

Далее интегрируем, 

 1          dt             2t dt           dx

----(∫---------- - ∫----------)= ∫---------

  2        1+t²         1+t²               x

 

 

1/2(arctgt-2ln|1+t²|)=ln|x|+C

y(1)=0 ⇒ C=0

1/2(arctg y/x - 2ln|1+y²/x²|)=ln|x|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

Для решения задачи Коши нам дано дифференциальное уравнение вида:

y'x - 2yy' = 2x + y + y(1) = 0,

где y(1) обозначает начальное значение функции y при x = 1.

Чтобы решить это уравнение, мы будем использовать метод разделения переменных. Давайте начнем с разделения всех переменных, чтобы получить два отдельных уравнения:

dy/y = (2x + y)dx/(x - 2y).

Теперь мы можем проинтегрировать оба уравнения по соответствующим переменным:

∫dy/y = ∫(2x + y)dx/(x - 2y).

Интегрируя левую часть, получаем:

ln|y| = ∫(2x + y)dx/(x - 2y) + C1,

где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

Интегрируя правую часть, мы можем использовать метод интегрирования по частям:

∫(2x + y)dx/(x - 2y) = ∫2xdx/(x - 2y) + ∫ydx/(x - 2y).

Для первого интеграла, мы можем использовать замену переменных u = x - 2y:

∫2xdx/(x - 2y) = ∫2(u + 2y)du/u = 2∫(u + 2y)du/u.

Теперь мы можем проинтегрировать по переменной u:

2∫(u + 2y)du/u = 2∫(u/u + 2y/u)du = 2∫(1 + 2y/u)du.

Это простое интегрирование дает нам:

2∫(1 + 2y/u)du = 2(u + 2yln|u|) + C2,

где C2 - еще одна произвольная постоянная интегрирования.

Теперь мы можем вернуться к исходному уравнению и подставить полученные результаты:

ln|y| = 2(u + 2yln|u|) + C2 + C1.

Мы также можем использовать начальное условие y(1) = 0, чтобы найти значения постоянных интегрирования. Подставим x = 1 и y = 0 в исходное уравнение:

y'x - 2yy' = 2x + y + y(1) = 0,

Получим:

y'(1) - 2(0)y'(1) = 2(1) + 0 + 0.

Из этого следует:

y'(1) = 2.

Теперь мы можем подставить y'(1) = 2 в наше уравнение:

ln|y| = 2(u + 2yln|u|) + C2 + C1,

и заменить u на x - 2y:

ln|y| = 2((x - 2y) + 2yln|(x - 2y)|) + C2 + C1.

Теперь мы можем использовать начальное условие y(1) = 0, чтобы найти значения постоянных интегрирования:

ln|0| = 2((1 - 2(0)) + 2(0)ln|(1 - 2(0))|) + C2 + C1.

Так как ln|0| неопределен, то C1 = -∞.

Таким образом, итоговое решение задачи Коши имеет вид:

ln|y| = 2((x - 2y) + 2yln|(x - 2y)|) + C2 - ∞.

Мы можем экспоненциально преобразовать это уравнение, чтобы найти явное выражение для y:

|y| = e^(2((x - 2y) + 2yln|(x - 2y)|) + C2 - ∞).

Здесь мы получаем абсолютное значение |y|, так как ln|y| обладает комплексными значениями для отрицательных y.

К сожалению, я не могу выразить решение в явном виде из-за сложности уравнения. Однако, используя полученное решение, вы можете численно решить задачу Коши для различных значений x и y(1).