Question

Решить 2 дифференциальных уравнения и классифицировать каждое из них: 2x(x^2+y^2)dy=y(y^2+2x^2)dx xy'-2y-xy^3=0; В этом ДУ решить задачу Коши y(1)=1

Answer 1

$2x(x^2+y^2)dy=y(x^2+2x^2)dx$
Классификация: дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной относительно производной, однородное.

Убедимся, что данное уравнение однородное. Проверим условие однородности. Для этого домножим каждый x и каждый y на некоторого  $\lambda\ne 0~~-const$
$2\lambda x(\lambda^2x^2+\lambda^2y^2)dy=\lambda y(\lambda^2y^2+2x^2\lambda^2)dx\\ \\ 2\lambda^3 x(x^2+y^2)dy=\lambda^3y(y^2+2x^2)dx\\ \\ 2x(x^2+y^2)dy=y(x^2+2x^2)dx$

Пусть  $y=ux$, тогда  $y'=u'x+u$. Получаем

$2x(x^2+u^2x^2)(u'x+u)=ux(u^2x^2+2x^2)\\ 2(1+u^2)(u'x+u)=u(u^2+2)\\ \\ 2u'x+2u+2u^2u'x+2u^3=u^3+2u\\ 2xu'(1+u^2)=-u^3$

Получили уравнение с разделяющимися переменными.
$\displaystyle 2x(1+u^2)\frac{du}{dx} =-u^3 ~~~\Rightarrow~~~ \frac{(1+u^2)du}{u^3} =- \frac{dx}{2x}$
Проинтегрируем обе части уравнения, имеем:
$\displaystyle \int \frac{(1+u^2)du}{u^3} =-\int \frac{dx}{2x} ~~~\Rightarrow~~\int\bigg( \frac{1}{u^3} + \frac{1}{u} \bigg)du=-\int \frac{dx}{2x}\\ \\ \frac{1}{u^2}-2\ln|u|=\ln|x|$

Получили общий интеграл относительно неизвестной функции u(x). Возвращаемся к обратной замене

$\frac{x^2}{y^2}-2\ln| \frac{y}{x} |=\ln|x|$  - общий интеграл и ответ.


$xy'-2y-xy^3=0~~|:x\\ y'- \frac{2y}{x} -y^3=0$
Классификация: Дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной относительно производной, линейное неоднородное.

Применим метод Бернулли:
Пусть  $y=uv$, тогда  $y'=u'v+uv'$ Получаем

$u'v+uv'- \frac{2uv}{x} -u^3v^3=0\\ \\ v(u'- \frac{2u}{x} )+uv'-u^3v^3=0$

1)  $u'-\frac{2u}{x} =0$ - уравнение с разделяющимися переменными.

$\displaystyle \frac{du}{dx} =\frac{2u}{x} ~~~\Rightarrow~~~ \int \frac{du}{u}=2\int \frac{dx}{x} ~~~\Rightarrow~~~ \ln|u|=2\ln|x|\\ \\ \ln|u|=\ln|x^2|\\ \\ u=x^2$

2)  $uv'-u^3v^3=0$
Подставляя u=x^2, имеем  $v'-x^4v^3=0$ - уравнение с разделяющимися переменными

$\displaystyle \frac{dv}{dx} =x^4v^3~~\Rightarrow~~~\int \frac{dv}{v^3} =\int x^4dx~~~\Rightarrow~~~- \frac{1}{2v^2} = \frac{x^5}{5} +C\\ \\ v= \frac{ \sqrt{5} }{ \sqrt{C-2x^5} }$


$y=uv= \dfrac{ \sqrt{5}x^2 }{ \sqrt{C-2x^5} }$ - общее решение.


Найдем теперь частное решение, подставляя начальные условия:
$1=\dfrac{ \sqrt{5}\cdot 1^2 }{ \sqrt{C-2\cdot 1^5} } ~~~\Rightarrow~~~ C=7$


$\boxed{y=\dfrac{ \sqrt{5}x^2 }{ \sqrt{7-2x^5} } }$ - частное решение.

Answer 2

Дифференциальное уравнение 1: 2x(x^2+y^2)dy=y(y^2+2x^2)dx

Это уравнение можно привести к уравнению в полных дифференциалах, разделив обе части на xy(x^2+y^2):

2/y^3 dy - 2x^2/(x^2+y^2)^2 dx = 1/(xy(x^2+y^2)) d(x^2+y^2)

Здесь мы использовали формулы дифференцирования композиции функций и вынесли множитель 2 из под дифференциала dx, чтобы свести выражение к полному дифференциалу.

Интегрируем обе части:

-2/y^2 + C = 1/(xy(x^2+y^2)) (x^2+y^2 - 1)

где С - произвольная постоянная.

Дифференциальное уравнение 1 является уравнением первого порядка и первой степени. Метод решения - метод полных дифференциалов.

Дифференциальное уравнение 2: xy'-2y-xy^3=0

Перепишем уравнение в виде y' - (2/y)x*y^2 = 1/x:

Данное уравнение является уравнением Бернулли. Сделаем замену y^(-1) = z:

dz/dx = -z - 1/x

Теперь решим это уравнение как линейное неоднородное уравнение первого порядка:

z = C/x - x

где С - произвольная постоянная. Заменяя обратно на y, получаем:

y = (1/(Cx-x^2))^(1/2)

Дифференциальное уравнение 2 является уравнением Бернулли. Метод решения - замена переменной.

Решение задачи Коши: y(1) = 1

Для первого уравнения, подставим y(1) = 1 и x = 1:

-2 + C = 0

С = 2

Таким образом, решение первого уравнения имеет вид:

-2/y^2 + 2 = 1/(xy(x^2+y^2)) (x^2+y^2 - 1)

Для второго уравнения, подставим y(1) = 1 и найдем значение С:

C = 2

Таким образом, решение второго уравнения имеет вид:

y = (1/(2x-x^2))^(1/2)