Question

Решить задачу коши у'=6х^2+4х. у(1)=9

Answer 1

Чтобы найти функцию по её производной, нужно найти первообразную этой функции, так и поступим:
у'=6x²+4x
y=6*x³/3 + 4*x²/2=2x³+2x²+С
С-константа
У нас есть начальное условие:
у(1)=9
9-это значение функции у при х=1.
Подставим вместо у-"9", а вместо х-"1" и найдём неизвестную константу С:
9=2*1³+2*1²+С
9=2+2+С
9=4+С
9-4=С
5=С
С=5

В итоге получаем функцию у для начальных условий у(1)=9:
у=2x³+2x²+5

Answer 2

Для решения задачи Коши нам нужно найти функцию `y(x)`, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению `y' = 6x^2 + 4x` и начальному условию `y(1) = 9`. Давайте разберемся, как это сделать.

Решение дифференциального уравнения

Для начала, найдем общее решение дифференциального уравнения `y' = 6x^2 + 4x`. Интегрируя обе части уравнения, получим:

∫y' dx = ∫(6x^2 + 4x) dx

Интегрируя каждое слагаемое по отдельности, получим:

y = 2x^3 + 2x^2 + C

где `C` является произвольной постоянной.

Нахождение постоянной `C`

Чтобы найти значение постоянной `C`, воспользуемся начальным условием `y(1) = 9`. Подставим `x = 1` и `y = 9` в уравнение:

9 = 2(1)^3 + 2(1)^2 + C

9 = 2 + 2 + C

9 = 4 + C

C = 9 - 4

C = 5

Таким образом, мы нашли значение постоянной `C`, которое равно 5.

Окончательное решение задачи Коши

Теперь, зная значение постоянной `C`, мы можем записать окончательное решение задачи Коши:

y = 2x^3 + 2x^2 + 5

Таким образом, функция `y(x)`, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению `y' = 6x^2 + 4x` и начальному условию `y(1) = 9`, равна `y = 2x^3 + 2x^2 + 5`.