Question

1) Вдоль прямолинейной дороги расположены N домов. Где на этом шоссе нужно вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от домов до колодца была минимальной? 2) Даны числа Найти x, при которых функция принимает наименьшее значение. Объяснить, почему в некотором смысле это не две задачи, а одна, и решить ее.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1) Если количество домов N четное, то колодец можно поставить в любом месте между N/2 и (N/2 + 1) домом.

Например, если домов всего 2, то между 1 и 2 домами.

Обозначим S расстояние между домами.

Житель 1 дома пройдет до колодца расстояние x, а житель 2 дома расстояние S-x.

В сумме они пройдут x + S - x = S, то есть расстояние между домами.

Точно также, если домов 4, то колодец ставим между домами 2 и 3.

Тогда 1 и 4 жители вместе пройдут S, а 2 и 3 жители вместе пройдут s1 - расстояние между 2 и 3 домом.

Сумма равна S + s1.

Если же поставить колодец, например, между домами 1 и 2, то 2 житель пройдет расстояние y от 2 дома до колодца, а 3 житель (s1+y) - сначала s1 от 3 дома до 2, а потом ещё y до колодца.

В сумме получится

S + y + s1 + y = S + s1 + 2y > S + s1

Если же количество домов N нечетно, то ставить колодец надо во дворе среднего дома (N+1)/2.

Например, если домов 3, то ставим колодец около 2 дома.

Тогда для 1 и 3 жителя сумма расстояний будет по-прежнему S, а расстояние для 2 жителя будет 0.

Сумма всех расстояний равна S + 0 = S.

Точно также, для 5 домов колодец нужно ставить возле 3 дома, для 7 - возле 4, и т.д.

2) y = |x-a1| + |x-a2| + ... + |x-a(N)|

Это по сути та же задача.

y - сумма расстояний (модули - это расстояния между точками)

x - положение колодца

a1, a2, ... a(N) - положения домов.

И доказательство точно такое же.

Если N четно, то x может быть любым от a(N/2) до a((N+1)/2).

Если N нечетно, то x = a((N+1)/2)

Answer 2

1. Для определения местоположения колодца, чтобы сумма расстояний от домов до колодца была минимальной, можно использовать следующий метод:

   a. Упорядочите дома по возрастанию их координат на дороге.

   b. Найдите средний дом на дороге. Если N - четное число, то есть два средних дома, выберите любой из них.

   c. Местоположение колодца, которое минимизирует сумму расстояний, будет находиться точно посередине между выбранным средним домом и ближайшим к нему домом. Таким образом, это место будет оптимальным для минимизации суммы расстояний.

2. Данная задача связана с поиском минимума функции. Функция может иметь вид f(x), и ваша задача - найти значение x, при котором она принимает наименьшее значение.

Теперь объединим обе задачи:

Если дома расположены вдоль прямой дороги с известными координатами и вам нужно выбрать местоположение колодца так, чтобы сумма расстояний от домов до колодца была минимальной, то это можно рассматривать как задачу нахождения минимума функции. Функция, описывающая сумму расстояний от домов до колодца в зависимости от его местоположения, будет выглядеть примерно так:

f(x) = |x - x1| + |x - x2| + ... + |x - xn|

Где x1, x2, ..., xn - координаты домов на дороге, x - координата местоположения колодца. Задача заключается в нахождении такого x, при котором функция f(x) принимает минимальное значение.

Вы можете решить эту задачу, используя метод, описанный выше. Найдите средний дом на дороге и выберите местоположение колодца точно посередине между этим домом и ближайшим к нему. Это место будет оптимальным для минимизации суммы расстояний от домов до колодца.