Question

На доске написано 26 попарно различных натуральных чисел. Их среднее арифметическое равно 34. Пусть M – наименьшее из написанных чисел. Найдите наибольшее возможное значение M​

Answer 1

Ответ:

21

Объяснение:

Среднее арифметическое 26 чисел равно 34.

Значит, их сумма равна 26*34 = 884.

Все числа должны быть разными. Значит, они должны идти подряд.

Значит, число 34 должно быть в середине списка, то есть 13-ым или 14-ым.

Если 34 - это 13-е число, то первое - 22, а последнее 26-ое - 47.

Сумма 26 чисел от 22 до 47:

S(22-47) = (22+47)*26/2 = 69*13 = 897.

А нам надо 884, значит, не подходит.

Если 34 - это 14-е число, то первое - 21, а последнее 26-ое - 46.

Сумма 26 чисел от 21 до 46:

S(21-46) = (21+46)*26/2 = 67*13 = 871.

А нам нужно 884, значит, подходит.

Например, нужно взять последнее число не 46, а 46+884-871 = 46+13 = 59.

Итак, это числа, например, от 21 до 45 и 59.

Или можно прибавить по 1 к последним 13 числам.

Получится от 21 до 33 и от 35 до 47.

S(21-33) = (21+33)*13/2 = 54*13/2 = 27*13 = 351.

S(35-47) = (35+47)*13/2 = 82*13/2 = 41*13 = 533

S = 351 + 533 = 884. Все правильно.

Наибольшее из наименьших чисел равно 21.

Answer 2

Давайте обозначим наши числа через $a_1, a_2, \ldots, a_{26}$, где $a_1 < a_2 < \ldots < a_{26}$. Мы знаем, что среднее арифметическое этих чисел равно 34.

Среднее арифметическое можно выразить как:

$$\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_{26}}{26} = 34$$

Теперь у нас есть уравнение:

$$a_1 + a_2 + \ldots + a_{26} = 26 \times 34$$

Мы также знаем, что $M$ - наименьшее из этих чисел. Поэтому:

$$M = a_1$$

Теперь давайте рассмотрим, как максимизировать значение $M$. Чтобы $M$ было максимальным, остальные числа $a_2, a_3, \ldots, a_{26}$ должны быть как можно меньше. Поэтому мы выбираем максимальные значения для $a_2, a_3, \ldots, a_{26}$, которые при этом соответствуют условиям задачи.

Таким образом, мы выбираем:

$$a_2 = a_1 + 1, \quad a_3 = a_1 + 2, \quad \ldots, \quad a_{26} = a_1 + 25$$

Теперь мы можем выразить сумму чисел:

$$26a_1 + (1 + 2 + \ldots + 25) = 26 \times 34$$

Сначала найдем сумму $1 + 2 + \ldots + 25$. Это можно сделать, используя формулу суммы арифметической прогрессии:

$$\frac{n \times (n + 1)}{2}$$

В нашем случае $n = 25$. Подставим значения:

$$\frac{25 \times 26}{2} = 325$$

Теперь вернемся к уравнению:

$$26a_1 + 325 = 26 \times 34$$

Решим это уравнение относительно $a_1$:

$$26a_1 = 26 \times 34 - 325$$

$$a_1 = \frac{26 \times 34 - 325}{26}$$

После вычислений:

$$a_1 = \frac{884 - 325}{26} = \frac{559}{26}$$

Таким образом, наибольшее возможное значение $M$ равно $\frac{559}{26}$.