Question

Даны векторы a=(2;-4;5) и b=(4;-3;5) вычислите косинус угла между ними

Answer 1

Ответ:

3/√10

Объяснение:

cosγ = (x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂)/[√(x₁² + y₁² + z₁²)*√(x₂² + y₂² + z₂²)]  

cosγ = (2*4 + 4*3 + 5*5) / [√(4 + 16 + 25)*√(16 + 9 + 25) =

= 45 / [√45 * √50] = 45/ [3√5 * 5√2] = 3/√10

Answer 2

Для того, чтобы вычислить косинус угла между векторами a и b, нужно воспользоваться формулой: $$\\cos \\phi=\\frac { (\\bar {a}, \\bar {b})} {|\\bar {a}| \\cdot|\\bar {b}|}=\\frac {a_ {x} \\cdot b_ {x}+a_ {y} \\cdot b_ {y}+a_ {z} \\cdot b_ {z}} {\\sqrt {a_ {x}^ {2}+a_ {y}^ {2}+a_ {z}^ {2}} \\cdot \\sqrt {b_ {x}^ {2}+b_ {y}^ {2}+b_ {z}^ {2}}}$$ Подставляя координаты векторов a и b, получим: $$\\cos \\phi=\\frac { (\\bar {a}, \\bar {b})} {|\\bar {a}| \\cdot|\\bar {b}|}=\\frac {2 \\cdot 4+ (-4) \\cdot (-3)+5 \\cdot 5} {\\sqrt {2^ {2}+ (-4)^ {2}+5^ {2}} \\cdot \\sqrt {4^ {2}+ (-3)^ {2}+5^ {2}}}=$$ $$=\\frac {8+12+25} {\\sqrt {4+16+25} \\cdot \\sqrt {16+9+25}}=\\frac {45} {\\sqrt {45} \\cdot \\sqrt {50}}=\\frac {45} {15 \\sqrt {10}}=\\frac {3 \\sqrt {10}} {10}$$ Ответ: косинус угла между векторами a и b равен $\frac {3 \sqrt {10}} {10}$. Для того, чтобы найти угол в градусах, нужно взять арккосинус от этого значения и умножить на $\frac {180} {\pi}$. Получим: $$\\phi=\\arccos \\left (\\frac {3 \\sqrt {10}} {10}\\right) \\cdot \\frac {180} {\\pi} \\approx 17.46^ {\\circ}$$ Более подробно о том, как найти косинус угла между векторами, можно прочитать на сайтах [webmath.ru](https://www.webmath.ru/poleznoe/formules_13_9.php) или [onlinemschool.com](https://ru.onlinemschool.com/math/assistance/vector/angl/).