Question

Найти наименьшее значение многочлена f(x) = x(x+1)(х + 2)(х + 3) ​

Answer 1

Відповідь: - 1

Пояснення: фото

Answer 2

Чтобы найти наименьшее значение многочлена \(f(x) = x(x+1)(x+2)(x+3)\), можно воспользоваться методом анализа экстремумов. Экстремумы могут находиться в точках, где производная функции равна нулю.

1. Начнем с вычисления производной многочлена \(f(x)\):

\[f'(x) = \frac{d}{dx} [x(x+1)(x+2)(x+3)]\]

Используем правило произведения для нахождения производной. Для упрощения рассмотрим каждый множитель по отдельности:

- \(\frac{d}{dx} [x] = 1\) - \(\frac{d}{dx} [x+1] = 1\) - \(\frac{d}{dx} [x+2] = 1\) - \(\frac{d}{dx} [x+3] = 1\)

Теперь умножим результаты:

\[f'(x) = 1 \cdot (x+1)(x+2)(x+3) + x \cdot 1 \cdot (x+2)(x+3) + x \cdot (x+1) \cdot 1 \cdot (x+3) + x \cdot (x+1)(x+2) \cdot 1\]

Это выражение может быть упрощено, но в данном случае у нас есть множитель \(x\) в каждом слагаемом, и его можно вынести:

\[f'(x) = x \cdot [(x+1)(x+2)(x+3) + (x+1)(x+2) + (x+1)(x+3) + (x+2)(x+3)]\]

2. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение для нахождения критических точек:

\[x \cdot [(x+1)(x+2)(x+3) + (x+1)(x+2) + (x+1)(x+3) + (x+2)(x+3)] = 0\]

Здесь либо \(x = 0\), либо выражение в квадратных скобках равно нулю.

3. Если \(x = 0\), то это одна из критических точек.

4. Решим уравнение в квадратных скобках:

\[(x+1)(x+2)(x+3) + (x+1)(x+2) + (x+1)(x+3) + (x+2)(x+3) = 0\]

Это уравнение не так просто решить аналитически, поэтому можно воспользоваться численными методами (например, метод Ньютона).

5. Найденные критические точки и значения функции в этих точках позволят определить, где достигается наименьшее значение многочлена.