Question

2. Найти наименьшее значение функции у= (х(в квадрате)-2) / (х(в квадрате)+2) 3. Найти наименьшее значение функции у= (х(в квадрате)-5)/( х(в квадрате) +5) 5. Укажите наимешьнее значение функции f(x)= sin 2x + 2cosx на отрезке {п/2; п } 8. .найти наименьшее значение функции у=0,25 х(в четвёртой степени)- х (в третьей степени ) / 3 - х (в квадрате) на промежутке {-2,5 ; + бесконечности)

Answer 1

8. y'=x^3-x^2-2x

y'=0  x=0   x^2-x-2=0  x=-1  x=2

x>2 y'>0

x<-1 y'<0

x=-1 и х=2 точки минимума

y(2)=2^4/4-2^3/3-2^2=4-4-8/3=-8/3

y(-1)=1/4+1/3-1=-5/12

минимум в точке (2) = -8/3

2. y'=0 x=0 y(0)=-1

3. аналогично с 2. ymin=-1

5. y'=2cos2x-2sinx

cos2x-sinx=1-2sin^2x-sinx=0

sinx=-1

sinx=1/2

нашему промежутку принадлежит только sinx=1/2 (x=5/6П)

y(П)=-2

y(П/2)=0

y(5/6П)=sqrt(3)/2-sqrt(3)/2*2=-sqrt(3)/2

на отрезке минимум y(П)=-2

Answer 2

1. Найдем наименьшее значение функции у= (х^2-2)/(х^2+2).

Для нахождения наименьшего значения функции нужно найти ее минимальное значение. Для этого возьмем производную функции по x и приравняем к нулю:

у' = (2х(х^2+2) - (х^2-2)2х)/(х^2+2)^2 = (4х^3 + 4х - 4х^3 + 4х + 4)/(х^2+2)^2 = 8х/(х^2+2)^2

Приравняем производную к нулю и найдем значения х:

8х = 0 х = 0

Теперь найдем вторую производную:

у'' = (8(х^2+2)^2 - 8х(2х(х^2 + 2)))/(х^2+2)^4 = (8(х^4 + 4х^2 + 4) - 16х^3(х^2 + 2))/(х^2+2)^4 = (8х^4 + 32х^2 + 32 - 16х^5 - 32х^3)/(х^2+2)^4

Подставляя х = 0, получаем:

у'' = 32/(2^4) = 2

Так как вторая производная положительна, то найденная точка х = 0 является точкой минимума функции у= (х^2-2)/(х^2+2).

Для нахождения наименьшего значения функции подставляем х = 0 в уравнение функции:

у = (0^2-2)/(0^2+2) = -2/2 = -1.

Таким образом, наименьшее значение функции у= (х^2-2)/(х^2+2) равно -1.

2. Найдем наименьшее значение функции у= (х^2-5)/(х^2+5).

Аналогично предыдущему примеру, найдем производную функции по x и приравняем ее к нулю:

у' = (2х(х^2+5) - (х^2-5)2х)/(х^2+5)^2 = (4х^3 + 10х - 4х^3 + 10х + 10)/(х^2+5)^2 = 20х/(х^2+5)^2

Приравнивая производную к нулю и находим значения х:

20х = 0 х = 0

Опять найдем вторую производную:

у'' = (20(х^2+5)^2 - 20х(2х(х^2 + 5)))/(х^2+5)^4 = (20(х^4 + 10х^2 + 25) - 40х^3(х^2 + 5))/(х^2+5)^4 = (20х^4 + 200х^2 + 500 - 40х^5 - 200х^3)/(х^2+5)^4

Подставив х = 0, получаем:

у'' = 500/(5^4) = 500/625 = 4/5

Так как вторая производная положительна, то найденная точка х = 0 является точкой минимума функции у= (х^2-5)/(х^2+5).

Подставим х = 0 в уравнение функции:

у = (0^2-5)/(0^2+5) = -5/5 = -1.

Таким образом, наименьшее значение функции у= (х^2-5)/(х^2+5) равно -1.

3. Найдем наименьшее значение функции f(x) = sin(2x) + 2cos(x) на отрезке [п/2, п].

Наименьшее значение функции на отрезке достигается в точке, где ее производная равна нулю. Найдем производную функции по x:

f'(x) = 2cos(2x) - 2sin(x)

Приравняем производную к нулю и найдем значения x:

2cos(2x) - 2sin(x) = 0

cos(2x) = sin(x)

Для удобства решения уравнения, заметим, что на интервале [п/2, п] cos(2x) > 0, а sin(x) > 0. Таким образом, уравнение примет вид:

cos(2x) = sin(x) > 0

Теперь рассмотрим случай, когда sin(x) ≠ 0. Для этого sin(x) должна принимать значения отличные от нуля на интервале [п/2, п]. Так как в этом случае sin(x) > 0, уравнение примет вид:

cos(2x) = 1

Решая это уравнение получим одно решение: 2x = 0 x = 0

Таким образом, найденная точка x = 0 является точкой минимума функции f(x) = sin(2x) + 2cos(x) на отрезке [п/2, п].

Подставляя x = 0 в уравнение функции, получаем:

f(0) = sin(2 * 0) + 2cos(0) = sin(0) + 2 * 1 = 0 + 2 = 2.

Таким образом, наименьшее значение функции f(x) = sin(2x) + 2cos(x) на отрезке [п/2, п] равно 2.

4. Найдем наименьшее значение функции у = 0,25x^4 - x^3 + 3 - x^2 на промежутке [-2.5, +бесконечность).

Для нахождения наименьшего значения функции на бесконечном промежутке, нужно найти предел функции при x стремящемся к бесконечности. Но в данном случае, так как исходная функция является полиномом четвертой степени, то предел функции при x стремящемся к бесконечности можно найти рассмотрев ее поведение при положительных и отрицательных значениях x.

Учитывая, что функция является полиномом, можно сделать вывод, что на бесконечности она стремится к плюс и минус бесконечности.

Теперь найдем точку, где функция достигает локального минимума на заданном промежутке [-2.5, +бесконечность).

Для этого найдем производную функции:

у' = 0.25 * 4 * x^3 - 3 * x^2 - 2 * x

Приравняем производную к нулю и найдем значения x:

0.25 * 4 * x^3 - 3 * x^2 - 2 * x = 0

Перегруппируем:

x(1 - 0.5x)(0.5x - 4) = 0

Таким образом, найденные точки: x = 0, x = 2, x = 8 являются критическими значениями функции.

Теперь найдем значение функции в указанных точках и на концах отрезка [-2.5, +бесконечность):

y(-2.5) = 0.25 * (-2.5)^4 - (-2.5)^3 + 3 - (-2.5)^2 ≈ 8.167

y(0) = 0.25 * (0)^4 - (0)^3 + 3 - (0)^2 = 3

y(2)

Answer 3

Я могу помочь вам решить некоторые задачи по математике. Вот ответы на ваши вопросы:

2. Наименьшее значение функции $$y=\frac{x^2-2}{x^2+2}$$ достигается при $$x=0$$ и равно $$y=-\frac{1}{2}$$.

3. Наименьшее значение функции $$y=\frac{x^2-5}{x^2+5}$$ достигается при $$x=0$$ и равно $$y=-1$$.

5. Наименьшее значение функции $$f(x)=\sin 2x+2\cos x$$ на отрезке $$[\frac{\pi}{2};\pi]$$ достигается при $$x=\frac{\pi}{2}$$ и равно $$f(\frac{\pi}{2})=-1$$.

8. Наименьшее значение функции $$y=0.25x^4-x^3/3-x^2$$ на промежутке $$[-2.5;+\infty)$$ достигается при $$x=-1.5$$ и равно $$y=-\frac{25}{48}$$.

Надеюсь, это было полезно.