Question

Постройте криволинейную трапецию и найдите ее площадь у=х^3+2; у=0; х=0; х=2 ​

Answer 1

Объяснение:

$y=x^3+2\ \ \ \ y=0\ \ \ \ x=0\ \ \ \ x=2\ \ \ \ S=?\\S=\int\limits^2_0 {(x^3+2-0)} \, dx =\int\limits^2_0 {x^3} \, dx +\int\limits^2_0 {2} \, dx =\frac{x^4}{4} \ |_0^4+2x\ |_0^4=\\=(\frac{2^4}{4}-\frac{0^4}{4})+(2*2-2*0)= \frac{16}{4}+4=4+4=8.$

Ответ: S=8 кв. ед.

Answer 2

Чтобы построить криволинейную трапецию и найти ее площадь, нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Нарисовать график кривых

Уравнение \(y = x^3 + 2\) задает кубическую кривую, а \(y = 0\), \(x = 0\) и \(x = 2\) - это прямые. Давайте начнем с построения графика этих кривых.

Первое уравнение, \(y = x^3 + 2\), создает кубическую кривую, которая будет исходить из точки (0,2) и стремиться вверх при увеличении x.

График будет проходить через (0,2), а затем уходить вверх. При \(x = 2\), значение \(y\) будет \(2^3 + 2 = 10\), поэтому точка (2,10) также будет на кривой.

Второе уравнение, \(y = 0\), представляет собой горизонтальную прямую, проходящую через ось \(x\) на уровне \(y = 0\).

Третье уравнение, \(x = 0\), представляет собой вертикальную линию, проходящую через ось \(y\) в точке (0,2).

Четвертое уравнение, \(x = 2\), также представляет собой вертикальную линию, проходящую через ось \(y\) в точке (2,10).

Шаг 2: Определение точек пересечения

Теперь нужно найти точки пересечения кривых, чтобы определить вершины трапеции. Это будут точки (0,2), (0,0), (2,0) и (2,10).

Шаг 3: Построение трапеции

Соедините эти точки линиями, чтобы построить трапецию. Она будет ограничена кубической кривой сверху, осью \(x\) снизу, и вертикальными линиями слева и справа.

Шаг 4: Нахождение площади

Теперь, чтобы найти площадь трапеции, нужно использовать формулу для площади трапеции:

\[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h \]

где \(a\) и \(b\) - длины оснований (верхней и нижней сторон трапеции), а \(h\) - высота трапеции.

В данном случае, \(a\) и \(b\) - это длины верхней и нижней сторон трапеции, а \(h\) - расстояние между этими сторонами (ширина трапеции).

Таким образом, площадь трапеции будет:

\[ S = \frac{(10 + 2)}{2} \cdot 2 = 12 \]

Итак, площадь криволинейной трапеции равна 12.