Question

В параллелограмме ABCD известны координаты трёх его вершин: A (4, −4), B (3, −1) и C (5, −3). Пусть K− точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. При каком значении параметра t вектор a = (t, 2) имеет c вектором AK угол 45 градусов? Необходимо с решением

Answer 1

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

Находим координаты точки К как середины АС

$x_{K}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2} =\frac{4+5}{2}=\frac{9}{2}\\\\ y_{K}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2} =\frac{-4+(-3)}{2}=-\frac{7}{2}$

$\vec{AK}=(\frac{9}{2}-4;-\frac{7}{2}-(-4))=(\frac{1}{2}; \frac{1}{2})$

$cos\angle(\vec{AK}, \vec{a})=\frac{\vec{AK}\cdot \vec{a}}{|\vec{AK}|\cdot |\vec{a}|}=\frac{\frac{1}{2}\cdot t+\frac{1}{2}\cdot 2}{\sqrt{t^2+2^2}\cdot\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^2}}$

$\angle(\vec{AK}, \vec{a})=45^{o}$

$cos45^{o}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{\frac{1}{2}\cdot t+\frac{1}{2}\cdot 2}{\sqrt{t^2+2^2}\cdot\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$t+2=\sqrt{t^2+4}$

Возводим в квадрат

$t^2+4t+4=t^2+4\\\\t=0$

Проверка:

0+2=√(0^2+4)-  верно

Ответ. t=0

Answer 2

Для начала найдем координаты точки D.

Так как параллелограмм ABCD является параллельным переносом параллелограмма OABC, где O - начало координат, то векторы OA и CD равны. Вектор OA = OB - AB = (3, -1) - (4, -4) = (-1, 3) Тогда координаты точки D равны координатам точки C, сдвинутым на вектор OA: D = C + OA = (5, -3) + (-1, 3) = (4, 0)

Теперь найдем координаты точки K - точки пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Уравнение прямой, проходящей через точки A и C, имеет вид: y - y1 = (y2 - y1)/(x2 - x1) * (x - x1), где (x1, y1) = (4, -4) и (x2, y2) = (5, -3) Подставляя значения, получаем: y + 4 = (1/1) * (x - 4) y = x - 8

Уравнение прямой, проходящей через точки B и D, имеет вид: y - y1 = (y2 - y1)/(x2 - x1) * (x - x1), где (x1, y1) = (3, -1) и (x2, y2) = (4, 0) Подставляя значения, получаем: y + 1 = (1/1) * (x - 3) y = x - 4

Решая систему уравнений y = x - 8 и y = x - 4, получаем координаты точки K: x - 8 = x - 4 -8 = -4 Решение получается противоречивым, что означает, что точка K не существует.

Таким образом, вектор a = (t, 2) не может иметь с вектором AK угол 45 градусов, так как точка K не существует.